ελάχιστη απόσταση

#1

H ευθεία $\displaystyle y=a,\,\,a>0$ τέμνει τις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},g(x)=\sqrt{x}$ στα σημεία $\displaystyle A,B$ , αντίστοιχα.
Βρείτε το $\displaystyle a$ ώστε το $\displaystyle (AB)$ να είναι ελάχιστο .

#2

exdx έγραψε: Πέμ Φεβ 10, 2022 12:30 pm H ευθεία $\displaystyle y=a,\,\,a>0$ τέμνει τις γραφικές παραστάσεις των $\displaystyle f(x)={{e}^{x}},g(x)=\sqrt{x}$ στα σημεία $\displaystyle A,B$ , αντίστοιχα.
Βρείτε το $\displaystyle a$ ώστε το $\displaystyle (AB)$ να είναι ελάχιστο .

Η ευθεία

τέμνει την C_f

στο $\displaystyle A\left( {\ln a,a} \right)$ και την C_g

στο $\displaystyle B\left( {{a^2},a} \right).$

Είναι, $\displaystyle (AB) = h(a) = {a^2} - \ln a$ με $\displaystyle h'(a) = \frac{{2{a^2} - 1}}{a}.$ Άρα η

παρουσιάζει για $\boxed{a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

ελάχιστη τιμή ίση με $\boxed{{(AB)_{\min }} = \frac{1}{2}\left( {1 + \ln 2} \right)}$

KARKAR · #3

: exd.png (59.02 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

. Αλλά : $e^k=\sqrt{x}$ , δηλαδή : $k=\dfrac{1}{2}lnx$

οπότε : $d(x)=x-\dfrac{1}{2}lnx$ , η οποία παρουσιάζει ελάχιστο για : $x=\dfrac{1}{2}$ ,

συνεπώς : $y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Christos.N · #4

Έστω

και

τα σημεία τομής των C_f,C_g

με την ευθεία y=a

αντίστοιχα.

Τότε $e^{x_1}=a,~\sqrt{x_2}=a$ και η απόσταση μεταξύ των A,B

ορίζεται ως (AB)=|x_1-x_2|=|ln a-a^2|,a>0

Θεωρούμε την συνάρτηση h(x)=lnx-x^2,~x>0

συνεχής και παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ με $h'(x)=\frac{1-2x^2}{x}$

έχουμε $h'(x)>0\Leftrightarrow 0<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$ ενώ $h'(x)<0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}<x$

άρα για κάθε x>0

ισχύει $h(x)\le h(\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{1}{2}(ln 2+1)<0$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι $(AB)=-(ln a-a^2)=-h(a)\ge -h(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{1}{2}(ln2+1)$

Christos.N · #5

Ειδικά για το πρόσημο της παράστασης (AB)=|x_1-x_2|=|ln a-a^2|,a>0

Γνωρίζουμε ότι για κάθε a>0

ισχύει $ln a\le a-1 \Rightarrow lna-a^2\le-a^2+a-1<0$

(τριώνυμο με αρνητική διακρίνουσα και συντελεστή δευτεροβάθμιου όρου αρνητικό)

Άρα (AB)=|x_1-x_2|=-ln a+a^2,a>0

#6

george visvikis έγραψε: Πέμ Φεβ 10, 2022 1:45 pm
Η ευθεία τέμνει την στο $\displaystyle A\left( {\ln a,a} \right)$ και την στο $\displaystyle B\left( {{a^2},a} \right).$

Ουσιαστικά , ο Γιώργος μετατρέπει την οριζόντια απόσταση σε κατακόρυφη , που είναι πιο απλό να βρεθεί

ελάχιστη απόσταση

ελάχιστη απόσταση

Re: ελάχιστη απόσταση

Re: ελάχιστη απόσταση

Re: ελάχιστη απόσταση

Re: ελάχιστη απόσταση

Re: ελάχιστη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση