Ελάχιστο απόστασης

KARKAR · #1

: Ελάχιστο απόστασης.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Στη διάμετρο AB=8

, ενός ημικυκλίου κινούνται σημεία C , D

, ώστε αν : $AD=x , x\leq\dfrac{8}{3}$ ,

να είναι BD=2x

. Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου

, του οποίου το μέσο ονομάζω

.

α) Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

.

β) ( Προαιρετικό ) Δείξτε ότι το

κινείται σε σταθερή ευθεία .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 10, 2022 3:17 pm Ελάχιστο απόστασης.pngΣτη διάμετρο , ενός ημικυκλίου κινούνται σημεία , ώστε αν : $AD=x , x\leq\dfrac{8}{3}$ ,

να είναι . Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου , του οποίου το μέσο ονομάζω .

α) Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

β) ( Προαιρετικό ) Δείξτε ότι το κινείται σε σταθερή ευθεία .

Το κάνω με AC=x

(υποθέτω από το σχήμα ότι πρόκειται για τυπογραφικό).

Έστω

η προβολή του

στην διάμετρο. H ακτίνα του μέσα κύκλου είναι τότε $MN=\frac {1}{2} CD = \frac {1}{2}(8-3x)$ και άρα $NB=\frac {1}{2}(8-3x)+2x = \frac {1}{2} (8+ x)$ . Άρα

$BM^2= \dfrac {1}{4} ( (8-3x)^2+ (8+x)^2) = \dfrac {1}{4} ( 32-8x+ \frac {5}{2} x^2)$ , το οποίου το ελάχιστο είναι άμεσο ως δευτεροβάθμιο. Λαμβάνεται στο $x= \frac {5}{2}$ , και λοιπά.

β) Με αρχή των αξόνων το

και αλλαγή συμβόλου AC=t

(αντί

) είναι $AN= t + \frac {1}{2}CD = t + \frac {1}{2}(8-3t) = \frac {1}{2} (8-t)$ , Άρα οι συντεταγμένες του

είναι

$x= \frac {1}{2} (8-t),\, y= \frac {1}{2} (8-3t)$ . Άρα 3x-y=8

(κανένα τυπογραφικό ή λογιστικό λαθάκι εδώ εκεί επιτρέπεται).

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 10, 2022 3:17 pm Ελάχιστο απόστασης.pngΣτη διάμετρο , ενός ημικυκλίου κινούνται σημεία , ώστε αν : $AD=x , x\leq\dfrac{8}{3}$ ,

να είναι . Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου , του οποίου το μέσο ονομάζω .

α) Βρείτε το ελάχιστο μήκος του τμήματος .

β) ( Προαιρετικό ) Δείξτε ότι το κινείται σε σταθερή ευθεία .

Ανάποδα. Ξεκινάω από το β) και βρίσκω όπως ο Μιχάλης την ευθεία $\displaystyle \epsilon: 3x - y - 8 = 0$ που είναι γεωμετρικός τόπος του

: Ελάχιστη απόσταση.ΚΑ.png (12.45 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

α) Το ελάχιστο του

επιτυγχάνεται όταν $BM\bot \epsilon$ και $\displaystyle B{M_{\min }} = d(B,\varepsilon ) = \frac{{|3 \cdot 8 - 0 - 8|}}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{B{M_{\min }} = \frac{{16}}{{\sqrt {10} }}}$

abgd · #4

: elaxisto.png (102.93 KiB) Προβλήθηκε 704 φορές

Μια διαφορετική προσέγγιση...
Έστω $\displaystyle K$ το μέσο του ημικυκλίου $\displaystyle AB$ και $\displaystyle E$ το σημείο της $\displaystyle AB$ για το οποίο ισχύει $\displaystyle AE=\frac{8}{3}$ .
Τα σημεία $\displaystyle K$ και $\displaystyle E$ είναι οι θέσεις του $\displaystyle M$ όταν $\displaystyle x=0, \ \ x=\frac{8}{3}$ αντίστοιχα.
Φέρνουμε το (σταθερό) ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle KE$ .
Τα τρίγωνα $\displaystyle AKB, \ \ CMD$ , είναι ισοσκελή και ορθογώνια.
Είναι
$\displaystyle \frac{KM}{KE}=\frac{EC}{EA}=\frac{\frac{8}{3}-x}{\frac{8}{3}}$

Θέτουμε: $\displaystyle t=\frac{\frac{8}{3}-x}{\frac{8}{3}}$ και δείχνουμε, (εύκολο), ότι $\displaystyle t\in[0,1]$

Έτσι, $\displaystyle KM=t\cdot KE, \ \ t\in[0,1]$ , οπότε ο γ.τ. των σημείων $\displaystyle M$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle KE$ .

Το ελάχιστο τμήμα $\displaystyle BM$ θα είναι το ύψος του τριγώνου $\displaystyle BKE$ .

Για τον υπολογισμό του ελαχίστου μήκους χρησιμοποιούμε μετρικές σχέσεις.....

Ελάχιστο απόστασης

Ελάχιστο απόστασης

Re: Ελάχιστο απόστασης

Re: Ελάχιστο απόστασης

Re: Ελάχιστο απόστασης

Μέλη σε σύνδεση