Μη διπολική

KARKAR · #1

: Μη διπολική.png (11.64 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Η

είναι διάμετρος του κύκλου , το

ο νότιος πόλος , ενώ το

είναι σημείο του

βορείου ημικυκλίου αλλά όχι ο βόρειος πόλος .

και

τέμνονται στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι : SD>AD

... β) Βρείτε την θέση του

, για την οποία : SD=2AD

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 17, 2022 9:36 am Μη διπολική.pngΗ είναι διάμετρος του κύκλου , το ο νότιος πόλος , ενώ το είναι σημείο του

βορείου ημικυκλίου αλλά όχι ο βόρειος πόλος . και τέμνονται στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

: Μη διπολική.png (20.2 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Για κάθε σημείο

εσωτερικό του κόκκινου τεταρτοκυκλίου $\widehat {{\theta _{}}} < 90^\circ \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} > 90^\circ$ .

α) Έτσι , DS > OS = R = AO

. Στο τρίγωνο ADO

η πλευρά

γιατί η απέναντι γωνία της

είναι αμβλεία, συνεπώς DS > AD

.

β) Αν η χορδή

επιλεγεί ίση με: ${\lambda _3} = R\sqrt 3$ θα είναι:

$\widehat {AOS} = 120^\circ \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {OSA} = 30^\circ$ και αν

το απόστημα προς την

θα είναι $OM = \dfrac{R}{2}$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle DMO$ προκύπτει $\displaystyle OM = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{3} = AD$ , άρα DS = 2AD

.

Κατασκευή.

Αν

ο βόρειος πόλος , ο κύκλος (N,R)

τέμνει το αριστερό βόρειο κόκκινο τεταρτοκύκλιο στο

.

#3

Έστω

ο Βόρειος πόλος του κύκλου (O)

και ας είναι TT'

, η εφαπτομένη του στο σημείο

.

$\bullet$ Τυχούσα ευθεία δια του σημείου

, διάφορετική της

, τέμνει τον κύκλο στο σημείο έστω

καί την ευθεία TT'

στο σημείο έστω

.

Από

και $DS' = DS\Rightarrow$ DS>DA

όπου $D\equiv BC\cap SS'$ και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Δια του μέσου

της ακτίνας

του κύκλου (O)

φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την

η οποία τέμνει τον κύκλο (O)

στα σημεία έστω $A,\ A'$ για τα οποία ισχύουν προφανώς, SD = 2DA

και

, όπου $D\equiv BC\cap SA$ και $D'\equiv BC\cap SA'$ και το δεύτερο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

nickchalkida · #4

Επειδή

$\displaystyle{ \begin{aligned} &\bullet\ \ \ a: \ \ \ \ \ {SD \over AD} = {R \over AE} \ge 1 \cr & \cr &\bullet\ \ \ b: \ \ \ \ \ {AD\over DS} = 2 \rightarrow {AE \over OS} = {OM \over ON} = 2 \rightarrow OM = ON \cr \end{aligned} }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 17, 2022 9:36 am Μη διπολική.pngΗ είναι διάμετρος του κύκλου , το ο νότιος πόλος , ενώ το είναι σημείο του

βορείου ημικυκλίου αλλά όχι ο βόρειος πόλος . και τέμνονται στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

και $DS=2AD \Rightarrow DN=2AD \Rightarrow \angle AND= \angle AOD=30^0$ .

Άρα $\angle COA=150^0$

: Μη διπολική.png (27.33 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Πέμ Φεβ 17, 2022 9:36 am Μη διπολική.pngΗ είναι διάμετρος του κύκλου , το ο νότιος πόλος , ενώ το είναι σημείο του

βορείου ημικυκλίου αλλά όχι ο βόρειος πόλος . και τέμνονται στο σημείο .

α) Δείξτε ότι : ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία : .

α) Απο τα όμοια τρίγωνα $ADC,DBS,\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{DB}{DC},(1),$

Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο

$ABC,\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{c}{b},(2), (1),(2)\Rightarrow \dfrac{AD}{DS}=\dfrac{c}{b},$

Αρκει να αποδειχθεί ότι b> c,

Για τις γωνίες είναι

$\hat{OSD}=\hat{SAO}=\omega , \hat{BSA}=\hat{BCA}=45-\omega ,\hat{ABC}= 45+\omega\Rightarrow \hat{B}> \hat{C}\Leftrightarrow b> c$

b) $\dfrac{AD}{SD}=\dfrac{1}{2},\dfrac{c}{b}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b=2c,a=2R, \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{1}{2},$

και με τον παππού μας τον ΑΠΟΛΛΏΝΙΟ και τομή με τον (O)

ορίζουμε το σημείο Α

Μη διπολική

Μη διπολική

Re: Μη διπολική

Re: Μη διπολική

Re: Μη διπολική

Re: Μη διπολική

Re: Μη διπολική

Μέλη σε σύνδεση