Μεγιστη Τιμή Παράστασης

kritonios · #1

Καλησπέρα σας και παλι.
Εχω πρόβλημα στη παρακάτω άσκηση:

Αν x+y=1

και

,
α) νδο $E(x,y)=(1-\frac{1}{xy})^2-2xy$
β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης E(x,y)+4xy

, αν x,y>0

Το α) ειναι προφανώς απλό. Το θέμα είναι οτι δεν βλέπω πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί το αποτέλεσμα του σε συνδυασμό με την υπόθεση για να δειχθεί το β).
Ευχαριστώ Πολυ!

#2

kritonios έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 3:04 am
Αν και ,
α) νδο $E(x,y)=(1-\frac{1}{xy})^2-2xy$
β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης , αν x,y>0

Κάτι δεν πάει καλά με την άσκηση. Για παράδειγμα πάρε $x= \dfrac {1}{n},\, y= \dfrac {n-1}{n}$ οπότε x+y=1

. Αλλά είναι τότε

$E(x,y)+4xy = x^2+y^2+ \dfrac {1}{x^2} +\dfrac {1}{y^2}+4xy \ge \dfrac {1}{x^2} = n^2$ , δηλαδή η παράσταση δεν είναι φραγμένη.

abgd · #3

kritonios έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 3:04 am
Καλησπέρα σας και παλι.
Εχω πρόβλημα στη παρακάτω άσκηση:

Αν και ,
α) νδο $E(x,y)=(1-\frac{1}{xy})^2-2xy$
β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης , αν x,y>0

Το α) ειναι προφανώς απλό. Το θέμα είναι οτι δεν βλέπω πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί το αποτέλεσμα του σε συνδυασμό με την υπόθεση για να δειχθεί το β).
Ευχαριστώ Πολυ!

Με τη βοήθεια συναρτήσεων, αλλά όχι για... Γυμνάσιο(!)

Η συνάρτηση
$E(x,y)+4xy= \left(1-\frac{1}{xy}\right)^2+2xy, \ \ x>0, y>0$ , με y=1-x

είναι ίση με την συνάρτηση

$f(t)=\left(1-\frac{1}{t}\right)^2+2t, \ \ t \in \left(0,\frac{1}{4}\right]$

Η συνάρτηση

έχει σύνολο τιμών το $\left[\frac{19}{2},+\infty\right)$

#4

Παραλλαγή:

Αν x,y>0

με

να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης E(x,y)=x^2+y^2+1/x^2+1/y^2.

Έχει μέγιστη τιμή;

#5

socrates έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 02, 2022 1:33 am
Παραλλαγή:

Αν με να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης
Έχει μέγιστη τιμή;

Είναι $2\sqrt {xy} \le x+y=1$ , άρα $xy \le \dfrac {1}{4}$ . Άρα

$x^2+y^2+\dfrac {1}{x^2} +\dfrac {1}{y^2} = x^2+y^2+\dfrac {x^2+y^2} {x^2y^2} = 1-2xy + \dfrac {1-2xy} {(xy)^2} \ge 1- \dfrac {2}{4} + \left (1- \dfrac {2}{4} \right ) \cdot 4^2= \dfrac {17}{2}$

με ισότητα αν $x=y = \dfrac {1}{2}$

Δεν είναι άνω φραγμένη αφού $x^2+y^2+\dfrac {1}{x^2} +\dfrac {1}{y^2} \ge \dfrac {1}{x^2}$ και παίρνουμε τώρα όριο $x\to 0+$

Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Re: Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Re: Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Re: Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Re: Μεγιστη Τιμή Παράστασης

Μέλη σε σύνδεση