Ταυτοτικά μηδέν

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις
$g,h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Η δύο φορές παραγωγίσημη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
Ικανοποιεί
1) f(0)=0

2) $f(x)\geq 0$ για $x\in (-1,1)$
3) f''(x)+g(x)f'(x)+h(x)f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

Να δειχθεί ότι f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

Christos.N · #2

Όσο ψάχνεις μαθαίνεις!

$f(x)\geq 0=f(0)$ για $x\in (-1,1)$ και

παραγωγίσιμη άρα $\overset{Fermat}{\Rightarrow} f'(0)=0$

Έχουμε δηλαδή την διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

f''(x)+g(x)f'(x)+h(x)f(x)=0

για $x\in \mathbb{R}$

με αρχικές συνθήκες f(0)=f'(0)=0

παρατηρούμε ότι η συνάρτηση $f(x)=0,~x\in\mathbb{R}$ ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες και επαληθεύει την Δ.Ε. άρα από τα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Ευχαριστώ Σταύρο!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Ας γράψω και την απόδειξη για το μονοσήμαντο για γραμμικές δεύτερης τάξης.
Η ίδια είναι και για μεγαλύτερης τάξης.
Χρειάζονται μόνο γνώσεις Λυκειου.

Θεωρούμε την συνάρτηση r(x)=(f'(x))^2+ (f(x))^2

Είναι

Επειδή σε ένα φραγμένο διάστημα οι g,h

είναι φραγμένες και $2ff'\leq (f)^2+(f')^2$
εύκολα παίρνουμε ότι για κάθε φραγμένο διάστημα είναι
$r'\leq Cr$
όπου

μια σταθερά που βέβαια εξαρτάται από το διάστημα.
Είναι άμεσο ότι $(r(x)e^{-Cx})'\leq 0$
Από μονοτονία είναι για x>0

ότι $r(x)e^{-Cx}\leq r(0)=0$
Αρα r(x)=0

στα θετικά του διαστήματος.
Επειδή το διάστημα είναι οποιόδηποτε έχουμε $f\equiv 0,x>0$

Για x<0

γράφεται

με

Αν

γίνεται

και όπως προηγουμένως $u\equiv 0$
που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Ταυτοτικά μηδέν

Ταυτοτικά μηδέν

Re: Ταυτοτικά μηδέν

Re: Ταυτοτικά μηδέν

Μέλη σε σύνδεση