Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Stelios V8 · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f:\left [ -\pi ,\pi \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ με $f\left ( x \right )=x+\sin x$
και $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $xg''\left (x \right )> 0$ $\forall x\neq 0$
η οποία έχει εφαπτομένη τη διχοτόμο y=x

στο σημείο $O\left ( 0,0 \right )$ της γραφικής της παράστασης .
$\alpha )$ Να μελετηθεί η

ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα , την κυρτότητα , τα σημεία καμπής και να γίνει η γραφική της παράσταση .
$\beta )$ Να βρεθεί το πλήθος των $x_{o}$ στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των f , g

έχουν παράλληλες εφαπτομένες στα σημεία με τετμημένες $x_{o}$ .
$\gamma )$ Να βρεθεί το πλήθος των κοινών σημείων των γραφικών παραστάσεων των f , g

.
$\delta )$ Να υπολογιστούν, εφόσον υπάρχουν, τα όρια $\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left (x \right )$ και $\lim_{x\rightarrow -\infty }g\left (x \right )$ .

ma128 · #2

a)Έχουμε:

Λύνοντας: ${f}'(x)=0\Leftrightarrow cosx=-1\Leftrightarrow x=\pm \pi$

Επομένως: ${f}'(x)>0 \forall x\in(-\pi,\pi)$

Και έτσι: η

είναι αύξουσα στο $[-\pi,\pi]$

Και παρουσιάζει ελάχιστο για $x=-\pi$ , το $f(-\pi)=-\pi$

Και μέγιστο για $x=\pi$ , το $f(\pi)=\pi$

Έχουμε: {f}''(x)=-sinx

Λύνοντας: ${f}''(x)=0\Leftrightarrow -sinx=o\Leftrightarrow x=0,x=\pm \pi$

Επομένως: ${f}''(x)>0 \forall x \in(-\pi,0)$ και ${f}''(x)<0 \forall x \in(0,\pi)$

Έτσι η

είναι κυρτή στο $(-\pi,0)$ και κοίλη στο $(0,\pi)$

Ενώ παρουσιάζει σημείο καμπής για x=0

το

b)Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης: {f}'(x)={g}'(x)

Έχω ότι η εφαπτομένη της

στο

είναι η ευθεία: y=x

Επομένως, ισχύει: $x({g}'(0)-1)+g(0)=0 \forall x \in R$ (A)

Για x=0

, προκύπτει: g(0)=0

Και επομένως: {g}'(0)=1

Επίσης έχω ότι: $x{g}''(x)>0 \forall x \in R$

Επομένως ισχύει ότι: ${g}''(x)<0 \forall x<0$ και ${g}''(x)>0 \forall x>0$

Άρα η {g}'

παρουσιάζει ελάχιστο για x=0

, το

Και απο Θ.Φερμά προκύπτει: {g}''(0)=0

Θεωρώ:

Έχουμε:

Για $x \in [-\pi,0)$ ισχύει: 0<-sinx

και

Επομένως: ${h}'(x)>0 \forall x \in [-\pi,0)$

Για $x\in (0,\pi)$ αντίστοιχα: {h}'(x)<0

Άρα, συνολικά: ${h}'(x)\geq 0 , \forall x \in [-\pi,0]$ και ${h}'(x)\leq0, \forall x \in[0,\pi]$

Και επομένως η

είναι αύξουσα στο [-\pi,0] και φθίνουσα στο $[0,\pi]$

ισχύει: $h(-\pi)=-{g}'(-\pi)<0$ και h(0)=1>0

Άρα λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχει μοναδικό $x_1\in (-\pi,0)$ ώστε: h(x_1)=0

Αντίστοιχα, αφού: $h(\pi)=-{g}'(\pi)<0$ υπάρχει μοναδικό $x_2\in (0,\pi)$ ώστε: h(x_2)=0

Συνολικά, δηλαδή η εξίσωση έχει δύο ακριβώς ρίζες και άρα υπάρχουν δύο τετμημένες τέτοιες ώστε οι εφαπτομένες των

και

να είναι παράλληλες.

c) Αρκεί να βρώ το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=g(x)

Θεωρώ:

, όπου όμως : {k}'(x)=h(x)

Και είδαμε πρίν οτι η

είναι αύξουσα στο $(-\pi,0)$ και φθίνουσα στο $(0,\pi)$

Και ισχύει: h(x_1)=h(x_2)=0

Άρα έχουμε: $\forall x \in [-\pi,x_1)U(x_2,\pi] h(x)<0$ , $h(x)>0 \forall x \in (x_1,x_2)$

Επομένως: η

είναι αύξουσα στο [x_1,x_2)

και φθίνουσα στο $[-\pi,x_1)U(x_2,\pi]$

k(x_1)<k(0)=0

$k(-\pi)=-\pi-g(-\pi)>0$ καθώς: g(x)<x, x<0

Αφού η

είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο

και η g είναι κοίλη για x<0

Αντίστοιχα: $k(\pi)=\pi-g(\pi)<0$

Επομένως λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχουν μοναδικά $\xi_1,\xi_2$ ώστε: $k(\xi_1)=k(\xi_2)=k(0)=0$

Με $\xi_1 \in (-\pi,x_1)$ και $\xi_2 \in (x_2,\pi)$

Στο (x_1,x_2)

η

είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης λόγω μονοτονίας.

Συνολικά, η εξίσωση έχει συνολικά τρείς ακριβώς ρίζες.

Δηλαδή, υπάρχουν τρία κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των

και

d) Για

η

είναι κυρτή και επομένως η γραφική της παράσταση βρίσκεται πάνω απο κάθε της εφαπτομένη

Άρα $g(x)\geq x \forall x\geq 0 \Rightarrow lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)\geq lim_{x\rightarrow+\infty}x=+\infty$

Αντίστοιχα προκύπτει και $lim_{x\rightarrow-\infty}g(x)=-\infty$

#3

Προσοχή : Η λύση στα β,γ είναι λάθος

Edit
Αφού διορθώθηκε βάζω και τη γραφική παράσταση
μαζί με την (υποθετική ) $\displaystyle g$ .

ma128 · #4

exdx έγραψε: Τετ Φεβ 23, 2022 10:13 pm Προσοχή : Η λύση στα β,γ είναι λάθος

Έχετε δίκιο, μπερδεύτηκα σε ένα σημείο.Ευχαριστώ πολύ.
Διορθώθηκε.

Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Re: Υπαρξιακό με κυρτότητα και εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση