Με απλά υλικά (39)

#1

Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,\pi ]\to R$ με $\displaystyle {f}''$ συνεχή , ώστε $\displaystyle f(0)=f(\pi )=0$ .
Να αποδείξετε ότι :
α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle a\in (0,\pi )$ ΄ώστε : $\displaystyle f(a)={f}'(a)$
β) $\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi }{[(f(x)+{f}''(x)]\eta \mu x\,}dx=0$
γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle b\in (0,\pi )$ ώστε : $\displaystyle f(b)=-{f}''(b)$

Christos.N · #2

exdx έγραψε: Τρί Μαρ 01, 2022 11:12 am Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle f:[0,\pi ]\to R$ με $\displaystyle {f}''$ συνεχή , ώστε $\displaystyle f(0)=f(\pi )=0$ .
Να αποδείξετε ότι :
α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle a\in (0,\pi )$ ΄ώστε : $\displaystyle f(a)={f}'(a)$
β) $\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi }{[(f(x)+{f}''(x)]\eta \mu x\,}dx=0$
γ) Υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle b\in (0,\pi )$ ώστε : $\displaystyle f(b)=-{f}''(b)$

α) θεωρούμε την $h(x)=f(x)e^{-x},x~\in[0\pi]$ φανερά ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle a\in (0,\pi )$ ΄ώστε : $\displaystyle f(a)={f}'(a)$

β)
$\int\limits_{0}^{\pi }{[(f(x)+{f}''(x)]\eta \mu x\,}dx=\\ \int\limits_{0}^{\pi }{f(x)\eta \mu x\,}dx+ \int\limits_{0}^{\pi }{{f}''(x)\eta \mu x\,}dx=\\ \cancel{[-f(x)cos x]_{0}^{\pi}}+ \int\limits_{0}^{\pi }f'(x)cos x~ dx+\cancel{[f'(x)sin x]_{0}^{\pi}}- \int\limits_{0}^{\pi }f'(x)cos x~ dx=0$

γ) $\eta\mu~x\ge0,~x\in[0,\pi]$ και όχι παντού μηδέν .

Αν $g(x)=f(x)+f''(x),~x\in[0,\pi]$ παντού μηδέν τότε $f''(x)=-f(x),~x\in[0,\pi]$

Αν $g(x)=f(x)+f''(x),~x\in[0,\pi]$ έχει ρίζα στο εσωτερικό του διαστήματος $(0,\pi)$ τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle b\in (0,\pi )$ ώστε : $\displaystyle f(b)=-{f}''(b)$

Aν $g(x)=f(x)+f''(x),~x\in[0,\pi]$ συνεχής που διατηρεί πρόσημο στο εσωτερικό του πεδίου ορισμού της, τότε για την $g(x)\eta\mu~x$ ,

ισχύουν τα $g(x)\ge 0$ ή $g(x)\le 0$

όμως $\displaystyle \int\limits_{0}^{\pi }{[(f(x)+{f}''(x)]\eta \mu x\,}dx=0$ άτοπο.

Άρα υπάρχουν διαστήματα που το πρόσημο εναλλάσσεται, αρκεί να θεωρήσουμε δύο $x_1 , x_2 \in[0,\pi]$ με την ιδιότητα g(x_1)g(x_2)<0

άμεσα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle b\in (0,\pi )$ ώστε : $\displaystyle f(b)=-{f}''(b)$

Με απλά υλικά (39)

Με απλά υλικά (39)

Re: Με απλά υλικά (39)

Μέλη σε σύνδεση