Τριγωνομετρική εξίσωση ΙΙ

#1

Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle \frac{2\cos{2x}}{6-3\cos{3x}}=\frac{\cos{2x} +1}{\cos{3x}+2}$

για $-\pi\leq x\leq \pi$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: Τετ Μαρ 02, 2022 10:37 pm Να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle \frac{2\cos{2x}}{6-3\cos{3x}}=\frac{\cos{2x} +1}{\cos{3x}+2}$

για $-\pi\leq x\leq \pi$ .

Η εξίσωση γράφεται $\dfrac {2A}{6-3B} = \dfrac {A+1}{B+2}$ όπου έθεσα $A=\cos 2x, \, B= \cos 3x$ . Εδώ $-1\le A\le 1,\, -1\le B \le 1$ .

Χωρίζοντας τα $A,\, B$ , η προηγούμενη γράφεται $2 - \dfrac {1}{A+1} = -3+\dfrac {12}{B+2}$ .

Όμως $2 - \dfrac {2}{A+1} \le 2 - \dfrac {2}{1+1} =1$ και $-3+\dfrac {12}{B+2} \ge -3+\dfrac {12}{1+2}=1$ (το άνω φράγμα του ενός είναι το κάτω φράγμα του άλλου).

Όποτε η μόνη περίπτωση να είναι ίσα τα δύο μέλη είναι όταν $2 - \dfrac {2}{A+1} =1 =-3+\dfrac {12}{B+2}$ που συμβάνει μόνο όταν $A=1,\, B=1$ .

Δηλαδή όταν $\cos 2x =1,\, \cos 3x=1$ , ή αλλιώς x=0

kfd · #3

Mε τον περιορισμό $A\neq -1\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}.$
Για $x=\frac{\pi }{2}$ αδύνατη.

Τριγωνομετρική εξίσωση ΙΙ

Τριγωνομετρική εξίσωση ΙΙ

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση ΙΙ

Re: Τριγωνομετρική εξίσωση ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση