Θέμα με γραφική παράσταση

#1

Μια συνάρτηση $\displaystyle f:R\to R$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και
η παράγωγός της έχει γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα :

: graph.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 1548 φορές

Δίνεται ακόμα ότι $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty ,\,\,\,\,\,f(a)<0,\,\,\,\,\,\,{f}''(a)=3,\,\,\,f({{x}_{0}})=\frac{1}{2},\,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty \,$
(α) Να μελετήσετε την $\displaystyle f$ ως προς τη μονοτονία, τα κοίλα, να βρείτε το σύνολο τιμών της και να
αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle f(x)=0$ έχει τρεις ακριβώς ρίζες $\displaystyle {{\rho }_{1}}<{{\rho }_{2}}<{{\rho }_{3}}$ .
(β) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης $\displaystyle f$ .
(γ) Να υπολογίσετε τα όρια : $\displaystyle A=\underset{x\to b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln (x-b)}{{{({f}'(x))}^{2}}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin ({f}'(x))}{x-a}$
(δ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle x\in R$ , ισχύει ότι $\displaystyle f(x+1)\le 2+f(x)$
(ε) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle {f}'(x)+f(x)={{(f(x))}^{2}}+\frac{9}{4}$

Πηγή: Είναι δημιουργία του Σ. Σκοτίδα. Τη βρήκα σε μια συλλογή του Μ.Στεργίου
Edit : Διορθώθηκε ένα τυπογραφικό

kfd · #2

f γνήσια φθίνουσα στο $(-\infty ,a]$ και το $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$ γίνεται;

Λάμπρος Κατσάπας · #3

exdx έγραψε: Τετ Μαρ 16, 2022 9:02 pm Δίνεται ακόμα ότι $\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

Προκύπτει από τη γραφική παράσταση που δίνεται. Δεν χρειάζεται να δωθεί σαν δεδομένο.

ma128 · #4

α) Απο θ.Φερμά προκύπτει οτι: ${f}''(x_0)=0$

Βάσει γραφήματος, ισχύει: {f}'

γνησίως αύξουσα στο $(-\infty,x_0)$ και {f}'

γνησίως φθίνουσα στο $(b,+\infty)$

Άρα, η

είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0)$ και κοίλη στο $(b,+\infty)$

Επίσης, ισχύει: ${f}'(x)<0 , \forall x \in(-\infty,a)U(b,+\infty)$ και ${f}'(x)>0 , \forall x \in (a,b)$

Επομένως : η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,a)U(b,+\infty)$ και γνησίως αύξουσα στο (a,b)

Η

είναι συνεχής στο

και ισχύει: $lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$ , $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$

Επομένως το σύνολο τιμών της

είναι το

.

Ισχύει: f(a)<0

. Έτσι, λόγω Θ.Μπολζάνο και μονοτονίας υπάρχει μοναδικό $r_1 , \in (-\infty,a)$ ώστε f(r_1)=0

Η

είναι αύξουσα στο (x_0,b)

. Άρα ,

Επομένως, λόγω Μπολζάνο και Μονοτονίας υπάρχει μοναδικό $r_2 \in (a,b)$ ώστε f(r_2)=0

Αντιστοιχα υπάρχει μοναδικό $r_3 \in (b,+\infty)$ ώστε : f(r_3)=0

Συνολικά, η

έχει τρείς ρίζες r_1<r_2<r_3

b) Επομένως ισχύει:

$f(x)>0 , x \in (-\infty,r_1)U(r_2,r_3)$ και $f(x)<0 , x\in (r_1,r_2)U(r_3,+\infty)$

c) $A=lim_{x\rightarrow b^+}\frac{ln(a-b)}{({f}'(x))^2}=-\infty$

Καθώς: $({f}'(x))^2\geq 0$ και $x-b\geq 0$ κοντά στο b^+

Θεωρώ: $g(x)=sin{f}'(x) , x\in R$

g(a)=sin0=0

Με

$B=lim_{x\rightarrow a}\frac{sin{f}'(x)}{x-a}=lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}={g}'(a)={f}''(a)=3$

d) Απο ΘΜΤ για την

στο

, υπάρχει $\xi_x , \in (x,x+1)$ ώστε:

${f}'(\xi_x)=f(x+1)-f(x)$

Όμως ισχύει: ${f}'(x)\leq 2 , \forall x \in R$

Άρα: ${f}'(\xi_x)\leq 2 \Leftrightarrow f(x+1)-f(x)\leq 2 , \forall x \in R$

e) ${f}'(x)+f(x)=(f(x))^2+\frac{9}{4} \Leftrightarrow {f}'(x)-2=(f(x))^2-f(x)+\frac{1}{4}\Leftrightarrow {f}'(x)-2=(f(x)-\frac{1}{2})^2$

Ισχύει: ${f}'(x)-2\leq 0 , \forall x \in R$ και $(f(x)-\frac{1}{2})^2\geq 0 , \forall x \in R$

Επομένως μοναδική ρίζα η x=x_0

όπου: ${f}'(x_0)=2$ και f(x_0)=1/2

Christos.N · #5

ma128 έγραψε: Πέμ Μαρ 17, 2022 3:41 am

c) $A=lim_{x\rightarrow b^+}\frac{ln(a-b)}{({f}'(x))^2}=lim_{x\rightarrow b^+}\frac{1}{(x-b)2{f}'(x){f}''(x)}=-\infty$

Δες λίγο το παραπάνω (πέρα από το τυπογραφικό), δεν είναι απροσδιοριστία.

ma128 · #6

Christos.N έγραψε: Πέμ Μαρ 17, 2022 9:56 am Δες λίγο το παραπάνω (πέρα από το τυπογραφικό), δεν είναι απροσδιοριστία.

Σωστά. Διορθώθηκε.

Ευχαριστώ.

Θέμα με γραφική παράσταση

Θέμα με γραφική παράσταση

Re: Θέμα με γραφική παράσταση

Re: Θέμα με γραφική παράσταση

Re: Θέμα με γραφική παράσταση

Re: Θέμα με γραφική παράσταση

Re: Θέμα με γραφική παράσταση

Μέλη σε σύνδεση