Συνευθειακά

KARKAR · #1

: Συνευθειακά.png (20.72 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Το τμήμα

είναι κάθετο στο σκέλος

του ισοσκελούς τριγώνου ABC

. Ο κύκλος (K , KC)

τέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο σημείο

και την προέκταση της βάσης

στο σημείο

.

Δείξτε ότι τα σημεία A , T , S

είναι συνευθειακά .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm Συνευθειακά.pngΤο τμήμα είναι κάθετο στο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου . Ο κύκλος

τέμνει τον περίκυκλο του στο σημείο και την προέκταση της βάσης στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

είναι διάμετρος του κύκλου (A,B,C)

συνεπώς η

περνά από το

$\angle x+y=90^0$ και $\angle \theta +y=90^0$ άρα $\angle x= \angle \theta$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

(Πιο σύντομα προκύπτει η ισότητα των γωνιών $\theta ,x$ αφού

εφαπτόμενη του κύκλου (K,KC)

)

: Συνευθειακά.png (24.96 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm Συνευθειακά.pngΤο τμήμα είναι κάθετο στο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου . Ο κύκλος

τέμνει τον περίκυκλο του στο σημείο και την προέκταση της βάσης στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Έστω ότι η

δεν διέρχεται από το

αλλά από άλλο σημείο

του $\left( {K,KC} \right)$ .

Τότε από τα εγγράψιμα τετράπλευρα $ABCT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TCSZ$ προκύπτει, AB//SZ

.

: Συνευθειακά_11_4_22_KARKAR.png (27.79 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Όμως η

θα διέρχεται από το νότιο πόλο

του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ με άμεση συνέπεια KS//BD

.

Αφού όμως $DB \bot BA$ θα είναι και $SZ \bot KS$ . Αν λοιπόν

το αντιδιαμετρικό του

θα έχω ταυτόχρονα: $EZ \bot SZ\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ES \bot SZ$ .

Καταλήγω σε μαθηματικό αδιέξοδο, άρα $Z \equiv S$ .

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm Συνευθειακά.pngΤο τμήμα είναι κάθετο στο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου . Ο κύκλος

τέμνει τον περίκυκλο του στο σημείο και την προέκταση της βάσης στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Εστω ότι

$\hat{B}=\hat{C}=\omega ,\hat{KCS}=90-\omega =\hat{KSC},\hat{CKS}=2\omega , \hat{CTS}=\omega$

Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο

$ATCB,\hat{ATC}=180-\omega , \hat{ATC}+\hat{CTS}=180^{0}$

και τα σημεία A,T,S

είναι συνευθειακά

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm Συνευθειακά.pngΤο τμήμα είναι κάθετο στο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου . Ο κύκλος

τέμνει τον περίκυκλο του στο σημείο και την προέκταση της βάσης στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

: Συνευθειακά.ΚΑRKAR.png (23.05 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές

Από το εγγεγραμμένο ABCT

είναι $B\widehat AT=T\widehat CS$ και επειδή η

εφάπτεται στον κύκλο (K),

όλες οι πράσινες γωνίες είναι

ίσες. Άρα τα τρίγωνα ABT, CST

είναι ισογώνια και $C\widehat TS=A\widehat TB=A\widehat CB=A\widehat BC,$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

#6

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 11, 2022 8:11 pm Συνευθειακά.pngΤο τμήμα είναι κάθετο στο σκέλος του ισοσκελούς τριγώνου . Ο κύκλος

τέμνει τον περίκυκλο του στο σημείο και την προέκταση της βάσης στο σημείο .

Δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Φέρνω ( προσωρινά ) μόνο το ευθύγραμμο τμήμα

. Η

διέρχεται από το νότιο πόλο

του $\vartriangle ABC$ και έστω

το μέσο της χορδής

.

: Συνευθειακά_11_4_22_new.png (29.65 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές

Έχω διαδοχικά : $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}$ . Ενώ $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{K_{}}}$ και αφού $\widehat {{K_{}}} + \widehat {{\theta _3}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{\theta _{}}} + \widehat {{\phi _{}}} = = 90^\circ$ .

Δηλαδή $TD \bot TS$ οπότε αναγκαστικά η

θα διέλθει από το αντιδιαμετρικό του

, δηλαδή το

.

Συνευθειακά

Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Re: Συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση