Πλήθος ψηφίων

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Αν ο φυσικός αριθμός έχει ψηφία και ο φυσικός αριθμός έχει ψηφία, να βρείτε πόσα το πολύ και πόσα τουλάχιστον ψηφία έχει ο αριθμός

Στη συνέχεια, μπορείτε να γενικεύσετε την πιο πάνω άσκηση ;

[JimKas]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Είναι 10^19<=α<=10^20-1
Και 10^13<=β<=10^14-1
Όλα τα μέλη των ανισώσεων είναι θετικά οπότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις ανισότητες και καταλήγουμε:
Γ=10^(19+13)=10^32<=α*β και
α*β<=Δ=(10^20-1)(10^14-1)=10^34-10^20-10^14+1,
όπου Γ, Δ είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του α*β.
Ο Γ=10^32 έχει 33 ψηφία (32 μηδενικά και ενα 1) ενώ
Ο Δ έχει 34 ψηφία γιατί Δ<10^34-1, αφού
10^20>1, 10^14>1, αντιστρέφουμε τη φορά των δύο ανισώσεων πολλαπλασιάζοντας με (-1) και ύστερα τις προσθέτουμε κατά μέλη:
-10^20-10^14<-2 ισοδυναμεί με
10^34-10^20-10^14+1<10^34-1
(προσθέσαμε και στα δύο μέλη με 10^34-1).
Ενώ Δ>10^33, γιατί 10^33>10^20, 10^33>10^14, άρα Δ=8*10^33+(10^33-10^20)+(10^33-10^14)+1>8*10^33+1>10^33.
Άρα ο αριθμός α*β έχει τουλάχιστον 33 και το πολύ 34 ψηφία.
Γενικά λοιπόν αν ο α έχει ν ψηφία και ο β έχει κ ψηφία ισχύει:
10^(ν-1)<=α<=10^ν-1 και 10^(κ-1)<=β<=10^κ-1 και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη και αντίστοιχες πράξεις προκύπτει:
10^(ν+κ-2)<=α*β<10^(ν+κ)-1.
Άρα ο αριθμός α*β έχει τουλάχιστον ν+κ-1 ψηφία και το πολύ ν+κ ψηφία

Ελπίζω να μην είναι πολύ μεγάλη η απόδειξη ούτε πολύ περίπλοκη για μαθητές Α γυμνασίου που προορίζεται. Δεν ξέρω να γράφω σε latex οπότε ίσως είναι δυσαναγνωστή η λύση.

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι αυτή που έγραψες JimKas, μπορεί βέβαια να απλουστευθεί αρκετά. Την αφήνω για λίγες μέρες μήπως κάποιο μέλος μας δώσει μια πιο σύντομη λύση και αν όχι θα επανέλθω

[ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ]

Έστω ότι ο έχει ψηφία και ο έχει ψηφία. Τότε έχουμε:

και .

Άρα:

Άρα: .

Άρα:

Άρα:

Ο αριθμός αριστερά έχει , δηλαδή ψηφία και ο δεξιά έχει ψηφία.