Ολοκλήρωμα

ttheodoros · #1

Έστω $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ αύξουσα συνάρτηση. Αν
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} \big(f(x)-x\big) dx=0 }$
να δειχτεί ότι
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} |f(x)-x|dx<\dfrac{1}{4}. }$

#2

ttheodoros έγραψε: Πέμ Μάιος 05, 2022 5:28 pm Έστω $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ αύξουσα συνάρτηση. Αν
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} \big(f(x)-x\big) dx=0 }$
να δειχτεί ότι
$\displaystyle{ \int_{0}^{1} |f(x)-x|dx<\dfrac{1}{4}. }$

.
Έστω $A = \{ x\in [0,\,1] \, | f(x)<x \}, \, B = \{ x\in [0,\,1] \, | f(x) = x \}, \, C = \{ x\in [0,\,1] \, | f(x)> x \}$ , οπότε τα $A,\, B, \, C$ είναι ξένα με $A\cup B \cup C=[0,1]$

Η υπόθεση γράφεται

$0= \int _A (f(x)-x) dx + \int _B (f(x)-x) dx + \int _C (f(x)-x) dx = \int _A (f(x)-x) dx + 0 + \int _C (f(x)-x) dx$ άρα

$\int _C (f(x)-x) dx = - \int _A (f(x)-x) dx = \int _A (x- f(x)) dx \,\, (*)$

Έχουμε

$\int _0^1 |f(x)-x | dx = \int _A |f(x)-x| dx + \int _B |f(x)-x| dx + \int _C |f(x)-x| dx =$

$= \int _A (x- f(x)) dx + 0 + \int _C (f(x)-x) dx$

το οποίο από την (*)

ισούται με $2 \int _C (f(x)-x) dx$ αλλά και με $2 \int _A (x- f(x)) dx$ . Θα χρησιμοποιήσουμε και τις δύο εκδοχές.

Τώρα, τα

και

είναι ανοικτά σύνολα. Άρα το καθένα γράφεται ως ξένη ένωση ανοικτών διαστημάτων, $A = \cup (a_k,\, b_k),\, C= \cup (c_k,\, d_k)$ .

Άρα, με χρήση της υπόθεσης ότι η

είναι αύξουσα, έχουμε

$\displaystyle{ \int _A (x- f(x)) dx =\sum_k \int _{(a_k,\, b_k)} (x- f(x)) dx \le \sum _k \int _{a_k}^{b_k} (x- a_k)dx= \dfrac {1}{2} \sum_k (b_k-a_k) ^2 }$

το οποίο με την σειρά του είναι $\displaystyle{\le \dfrac {1}{2} \left ( \sum _k (b_k-a_k)\right ) ^2= \dfrac {1}{2} \left ( \mu (A) )^2}$

Άρα

$\displaystyle{ \boxed{ \int _0^1 |f(x)-x | dx = 2 \int _A (x-f(x)) dx \le (\mu (A))^2}}$ και όμοια $\displaystyle{ \boxed{ \int _0^1 |f(x)-x | dx = 2 \int _C (f(x)-x) dx \le (\mu (C))^2}}$

Χωρίς βλάβη $\mu (A) \le \mu (C)$ άρα

$\displaystyle{ \int _0^1 |f(x)-x | dx \le (\mu (A))^2 \le \left (\dfrac {\mu (A) + \mu (C) }{2} \right )^2 = \left (\dfrac {\mu (A\cup C) }{2} \right )^2 \le \left (\dfrac {1 }{2} \right )^2 = \dfrac {1}{4}}$ , όπως θέλαμε.

(H άσκηση ζητάει να δείξουμε γνήσια ανισότητα αλλά η $f(x)=\dfrac {1}{2}$ δείχνει ότι δεν μπορούμε να το πετύχουμε. Έδειξα λοιπόν το "μικρότερο ή ίσο")

ttheodoros · #3

Κ, Λάμπρου σας χαιρετώ! Ευχαριστώ πολύ για την λύση σας. Πολυ ορθή και η παρατήρησή σας στο τέλος.

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση