Διαφορά τετραγώνων

#1

Το στέλνω όπως ακριβώς μου το στείλανε, χωρίς σχόλια προς το παρόν

Έστω ένα τετράγωνο πλευράς

. Έστω δεύτερο ίδιο τετράγωνο που το «εφαρμόζουμε» ακριβώς πάνω στο πρώτο τετράγωνο. Κρατώντας σταθερό το πρώτο τετράγωνο «στρέφουμε» το δεύτερο τετράγωνο γύρω από το (κοινό) κέντρο των δύο τετραγώνων οπότε εμφανίζεται ένα κοινό χωρίο οκταγωνικής μορφής. Ζητάμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του κοινού αυτού χωρίου είναι μεγαλύτερο του 3/4

.

#2

gbaloglou έγραψε: Κυρ Μάιος 08, 2022 8:15 am
Έστω ένα τετράγωνο πλευράς . Έστω δεύτερο ίδιο τετράγωνο που το «εφαρμόζουμε» ακριβώς πάνω στο πρώτο τετράγωνο. Κρατώντας σταθερό το πρώτο τετράγωνο «στρέφουμε» το δεύτερο τετράγωνο γύρω από το (κοινό) κέντρο των δύο τετραγώνων οπότε εμφανίζεται ένα κοινό χωρίο οκταγωνικής μορφής. Ζητάμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του κοινού αυτού χωρίου είναι μεγαλύτερο του .

Ακόμα καλύτερα, ας δείξουμε ότι το εν λόγω εμβαδόν είναι $\ge 2(\sqrt 2-1)$

#3

gbaloglou έγραψε: Κυρ Μάιος 08, 2022 8:15 am Το στέλνω όπως ακριβώς μου το στείλανε, χωρίς σχόλια προς το παρόν

Έστω ένα τετράγωνο πλευράς . Έστω δεύτερο ίδιο τετράγωνο που το «εφαρμόζουμε» ακριβώς πάνω στο πρώτο τετράγωνο. Κρατώντας σταθερό το πρώτο τετράγωνο «στρέφουμε» το δεύτερο τετράγωνο γύρω από το (κοινό) κέντρο των δύο τετραγώνων οπότε εμφανίζεται ένα κοινό χωρίο οκταγωνικής μορφής. Ζητάμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του κοινού αυτού χωρίου είναι μεγαλύτερο του .

Καλημέρα Γιώργο.

Νομίζω ότι η ελάχιστη τιμή είναι $\displaystyle 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right).$ Θα επανέλθω όταν το ολοκληρώσω.

Με πρόλαβε ο Μιχάλης (Καλημέρα Μιχάλη).

#4

: Διαφορά τετραγώνων.ΓΜ.png (11.85 KiB) Προβλήθηκε 1539 φορές

Το ζητούμενο γαλάζιο εμβαδόν

είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου μείον τα εμβαδά των τεσσάρων κόκκινων

τριγώνων $\boxed{E = 1 - 2xy}$ Αλλά $\displaystyle x + y + DC = 1 \Leftrightarrow x + y + \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Leftrightarrow ...y = \frac{{1 - 2x}}{{2(1 - x)}}$

Άρα, $\displaystyle E(x) = \frac{{2{x^2} - 2x + 1}}{{1 - x}}$ με παράγωγο $\displaystyle E'(x) = - \frac{{2{x^2} - 4x + 1}}{{{{(1 - x)}^2}}},$ απ' όπου προκύπτει ότι έχουμε ελάχιστο

εμβαδόν $\boxed{{E_{\min }} = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$ όταν $\boxed{x = 1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$

#5

Μιχάλη και Γιώργο ευχαριστώ για τις παρεμβάσεις σας, η απόδειξη που είχα κατά νου χρησιμοποιούσε και αυτή Λογισμό, εκφράζοντας το εμβαδόν ως συνάρτηση της γωνίας $\theta$ (βλέπετε συνημμένο)*. Η χρήση Λογισμού, για το ίδιο αποτέλεσμα, θα μπορούσε να αποφευχθεί αν μπορούσαμε να δείξουμε άνευ Λογισμού ότι η

-- στο συνημμένο σχήμα του Γιώργου πάντοτε -- ελαχιστοποιείται όταν AB=AC

. Και βέβαια ο Λογισμός σίγουρα αποφεύγεται στην απάντηση του αρχικού ερωτήματος: ο κοινός εγγεγραμμένος κύκλος των δύο τετραγώνων περιέχεται στο οκταγωνικό χωρίο, άρα το εμβαδόν του τελευταίου υπερβαίνει το $\pi /4>3/4$ .

[Θα μπορούσε το αρχικό ερώτημα να αποτελέσει θέμα Πανελλαδικών, με όλες τις μονάδες ακόμη και για την παραπάνω άνευ Λογισμού λύση, ανταμείβοντας όσους την είδαν;]

*η συνάρτηση εμβαδόν είναι η $g(\theta)=1-\dfrac{(sin\theta +cos\theta -1)^2}{2sin\theta cos\theta }$

: οκταγωνικό.png (30.4 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές

#6

Ας το δούμε και χωρίς παραγώγους. Από την ανάρτηση του Γιώργου Βισβίκη έχουμε

$\displaystyle 1 = x+y+\sqrt{x^2+y^2} \geqslant x+y + \frac{x+y}{\sqrt{2}} \geqslant 2\sqrt{xy}\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{xy}(2+\sqrt{2})$

Άρα $\displaystyle 2xy \leqslant \frac{2}{(2+\sqrt{2})^2} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} =3-2\sqrt{2}$

και $\displaystyle E = 1-2xy \geqslant 2(\sqrt{2}-1)$

Έχουμε ισότητα αν και μόνο αν $x = y = \frac{1}{2+\sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Διαφορά τετραγώνων

Διαφορά τετραγώνων

Re: Διαφορά τετραγώνων

Re: Διαφορά τετραγώνων

Re: Διαφορά τετραγώνων

Re: Διαφορά τετραγώνων

Re: Διαφορά τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση