αρχική συνάρτηση

konstantinos5 · #1

Καλησπέρα σας, μπορεί η f''(x)=-f(x)

να λυθεί με λυκειακό τρόπο;
Ευχαριστω

Tolaso J Kos · #2

konstantinos5 έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 10:31 pm Καλησπέρα σας, μπορεί η να λυθεί με λυκειακό τρόπο;
Ευχαριστω

Δείξε ότι η συνάρτηση g(x) = f^2(x) + (f'(x))^2

είναι σταθερή.

konstantinos5 · #3

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 10:36 pm
konstantinos5 έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 10:31 pm Καλησπέρα σας, μπορεί η να λυθεί με λυκειακό τρόπο;
Ευχαριστω
Δείξε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή.

Πράγματι είναι. Οπότε έχουμε : $(f'(x))^{2}+ (f(x))^{2}=c \Leftrightarrow \mid f'(x)\mid =\sqrt{c-f^{2}\ (x)}$ . Αν f'(x)>0

τότε : $\frac{ f'(x)}{\sqrt{c-f^{2}\ (x)}}=1\Leftrightarrow (\sqrt{c-f^{2}(x)})'=f(x)$ .
Μέχρι εδώ είμαι σωστός ; Αμφιβάλλω αν πηγαίνει έτσι βέβαια

Tolaso J Kos · #4

Λογικά θα έχεις αρχικές συνθήκες ... πχ f(0) = f’(0) = 0

.

konstantinos5 · #5

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 11:12 pm Λογικά θα έχεις αρχικές συνθήκες ... πχ .

Έχουμε

και

. Απλώς ήθελα να δω την γενική περίπτωση

#6

konstantinos5 έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 10:54 pm Πράγματι είναι. Οπότε έχουμε : $(f'(x))^{2}+ (f(x))^{2}=c \Leftrightarrow \mid f'(x)\mid =\sqrt{c-f^{2}\ (x)}$ . Αν τότε : $\frac{ f'(x)}{\sqrt{c-f^{2}\ (x)}}=1\Leftrightarrow (\sqrt{c-f^{2}(x)})'=f(x)$ .
Μέχρι εδώ είμαι σωστός ; Αμφιβάλλω αν πηγαίνει έτσι βέβαια

Εκτός από το τυπογραφικό στο τέλος (πρέπει -f(x)

), η υπόθεση f'(x) >0

είναι περιοριστική.

Νέα αρχή στο ίδιο ύφος:

Έστω λοιπόν (αφού θέλεις την γενική περίπτωση) ότι f''(x) =-f(x)

και $f(0)=a, \, f'(0)=b$

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση όπου a=b=0

, και μετά θα δούμε το γενικό.

Έδειξες ότι η g(x) = f^2(x) + (f'(x))^2

είναι σταθερή. Η τιμή της σταθεράς είναι g(0) = f^2(0) + (f'(0))^2 = 0^2+0^2=0

. Άρα ισχύει f^2(x) + (f'(x))^2=0

από όπου

. Tελειώσαμε με την ειδική περίπτωση a=b=0

, δείχνοντας ότι η

είναι η μηδενική συνάρτηση (*)

.

Γενικά τώρα, δηλαδή f''(x) =-f(x)

και $f(0)=a, \, f'(0)=b \,(**)$ με a,b

όχι κατ' ανάγκη και τα δύο

.

Ορίζουμε $F(x) = f(x) - a\cos x - b\sin x$ .

Δείξε ότι

F''(x) = -F(x)

και

(άσκηση για σένα).

Από το προηγούμενο, δηλαδή το (*)

όπου είχαμε a=b=0

, συμπεραίνουμε ότι F(x)=0

. Δηλαδή $f(x) - a\cos x - b\sin x =0$ ή αλλιώς

$\boxed {f(x) =a\cos x + b\sin x}$ , που ικανοποιεί την εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες (**)

. Tελειώσαμε και το γενικό.

konstantinos5 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Μάιος 29, 2022 2:45 am
konstantinos5 έγραψε: Σάβ Μάιος 28, 2022 10:54 pm Πράγματι είναι. Οπότε έχουμε : $(f'(x))^{2}+ (f(x))^{2}=c \Leftrightarrow \mid f'(x)\mid =\sqrt{c-f^{2}\ (x)}$ . Αν τότε : $\frac{ f'(x)}{\sqrt{c-f^{2}\ (x)}}=1\Leftrightarrow (\sqrt{c-f^{2}(x)})'=f(x)$ .
Μέχρι εδώ είμαι σωστός ; Αμφιβάλλω αν πηγαίνει έτσι βέβαια
Εκτός από το τυπογραφικό στο τέλος (πρέπει ), η υπόθεση είναι περιοριστική.

Νέα αρχή στο ίδιο ύφος:

Έστω λοιπόν (αφού θέλεις την γενική περίπτωση) ότι και $f(0)=a, \, f'(0)=b$

Ας δούμε πρώτα την περίπτωση όπου , και μετά θα δούμε το γενικό.

Έδειξες ότι η είναι σταθερή. Η τιμή της σταθεράς είναι . Άρα ισχύει από όπου . Tελειώσαμε με την ειδική περίπτωση , δείχνοντας ότι η είναι η μηδενική συνάρτηση .

Γενικά τώρα, δηλαδή και $f(0)=a, \, f'(0)=b \,(**)$ με όχι κατ' ανάγκη και τα δύο .

Ορίζουμε $F(x) = f(x) - a\cos x - b\sin x$ .

Δείξε ότι

και (άσκηση για σένα).

Από το προηγούμενο, δηλαδή το όπου είχαμε , συμπεραίνουμε ότι . Δηλαδή $f(x) - a\cos x - b\sin x =0$ ή αλλιώς

$\boxed {f(x) =a\cos x + b\sin x}$ , που ικανοποιεί την εξίσωση και τις αρχικές συνθήκες . Tελειώσαμε και το γενικό.

Σας ευχαριστώ πολύ. Έπειτα από λίγη παρατήρηση του τελικού τύπου της

, η

μπορεί να γραφεί διαφορετικά ως εξής: $(f'(x))^{2} + f^{2}(x)= sin^{2}x +cos^{2}x$ , επειδή με τις αρχικές συνθήκες f(0)=-1, f'(0)=0

προκύπτει ότι g(x)=1

. Μπορούμε να εξάγουμε κάποιο συμπέρασμα για τον τύπο της f απ' αυτή την μορφή ; Προφανώς μια λύση είναι η -sinx

ωστόσο δεν γνωρίζουμε εάν είναι μοναδική.

#8

konstantinos5 έγραψε: Κυρ Μάιος 29, 2022 3:12 am Σας ευχαριστώ πολύ. Έπειτα από λίγη παρατήρηση του τελικού τύπου της , η μπορεί να γραφεί διαφορετικά ως εξής: ${\color {red} (f'(x))^{2} + f^{2}(x)= sin^{2}x +cos^{2}x}$

Δεν καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις. Σε αυτό που γράφεις δεν υπάρχει

, αλλά ούτε καν έχει νόημα να γράψεις ότι η (άγνωστή σου) συνάρτηση $(f'(x))^{2} + f^{2}(x)$ είναι ίση με κάτι. Άσε που αυτό το κάτι είναι

αλλά γραμμένο με δύσκολο τρόπο $\sin^{2}x +\cos^{2}x$ .

Ως προς την μέθοδο που προτείνω για την γενική περίπτωση, δηλαδή την $f''(x) = -f(x),\, f(0)=a,\, f'(0) =b$ , ένας τρόπος να λύσεις την άσκηση σε ένα βήμα, όχι δύο που περιέγραψα, είναι να θεωρήσεις την

$g(x) = (f(x)-a\cos x - b\sin x)^2 + (f'(x) +a\sin x-b\cos x)^2$ .

Μετά να παρατηρήσεις μέσω παραγώγισης ότι η

σταθερά, και μετά ότι η σταθερά είναι

. Και λοιπά.

αρχική συνάρτηση

αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Re: αρχική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση