Δεν αληθευει A B - B A = i , οπου Α, Β φραγμενοι τελεστες σε χωρο απειρης διαστασης

TrItOs · #1

Προβλημα: Έστω $\displaystyle{(X, \mathbb{C} )}$ ένας χώρος με νόρμα. Δείξτε ότι δεν υπάρχουν $\displaystyle{A, B \in L(X)}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{A B - B A = i \mathbb{I}}$ .

Προφανως, αν ο

ειναι πεπερασμενης διαστασης, τοτε προκυπτει αμεσα το ζητουμενο καθως οι τελεστες A, B

αναπαριστανται μεσω πινακων και αρα θα ηταν $0 = tr ( A B - B A ) = tr ( i \mathbb{I} ) \neq 0$ , αδυνατο.

Το ερωτημα ειναι πως επιλυεται οταν ο

ειναι απειρης διαστασης ;

Η λυση δεν ειναι ολοκληρωμενη, μπορειτε να με βοηθησετε , να το συμπληρωσετε, ευχαριστω.

Υποθετουμε οτι υπαρχουν $\displaystyle{A, B \in L ( X ) : A B - B A = i \mathbb{I}}$ . Δεν ξεχναμε πως $\displaystyle{ 0 \leqslant || A ||_{ L ( X ) } = M < + \infty }$ και $\displaystyle{ 0 \leqslant || B ||_{ L ( X ) } = K < + \infty }$ .

Ειναι

$1 = \Big| \Big| i \mathbb{I} \Big| \Big|_{ L ( X ) } = \Big| \Big| A B - B A \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant \Big| \Big| A B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B A \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant$

$\leqslant \Big| \Big| A \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| A \Big| \Big|_{ L ( X ) }= 2 M K \Rightarrow \frac{1}{2} \leqslant M K$

Ισχυρισμος: $\displaystyle{\boxed{A^{n} B - B A^{n} = i \text{ } n \text{ } A^{n-1} , \forall n \in \mathbb{N}}}$ .

Η αποδειξη γινεται με επαγωγη στο $n \in \mathbb{N}$ και χρησιμοποιωντας την υποθεση που εχουμε κανει.

Επειτα

$2 M = \Big| \Big| 2 i A \Big| \Big|_{ L ( X ) } = \Big| \Big| A^{2} B - B A^{2} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant \Big| \Big| A^{2} B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B A^{2} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant$

$\leqslant \Big| \Big| A^{2} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| A^{2} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant$

$\leqslant \Big| \Big| A \Big| \Big|_{ L ( X ) }^{2} \cdot \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| A^{2} \Big| \Big|_{ L ( X ) }^{2} = 2 M^{2} K \Rightarrow 2 M \leqslant 2 M^{2} K \Rightarrow 1 \leqslant M K$

Επιπλεον

$\Big| \Big| i \text{ } n \text{ } A^{n-1} \Big| \Big|_{ L ( X ) } = \Big| \Big| A^{n} B - B A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant \Big| \Big| A^{n} B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant$

$\leqslant \Big| \Big| A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant$

$\leqslant \Big| \Big| A \Big| \Big|_{ L ( X ) }^{n} \cdot \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } + \Big| \Big| B \Big| \Big|_{ L ( X ) } \cdot \Big| \Big| A \Big| \Big|_{ L ( X ) }^{n} = M^{n} K + K M^{n} = 2 K M^{n} \Rightarrow$

$\Rightarrow \Big| \Big| i \text{ } n \text{ } A^{n-1} \Big| \Big|_{ L ( X ) } = \Big| \Big| A^{n} B - B A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant 2 K M^{n} , \forall n \in \mathbb{N}$

Και ειναι επισης οτι

$\Big| \Big| A^{n} B - B A^{n} \Big| \Big|_{ L ( X ) } = \Big| \Big| i \text{ } n \text{ } A^{n-1} \Big| \Big|_{ L ( X ) } \leqslant n \text{ } \big| \big| A \big| \big|_{ L ( X ) }^{n-1} = n M^{n-1} , \forall n \in \mathbb{N}$

Πως συνεχιζουμε, υστερα ; Πως οδηγουμαστε σε ατοπο ;

#2

TrItOs έγραψε: Παρ Ιουν 03, 2022 10:27 pm Ισχυρισμος: $\displaystyle{\boxed{A^{n} B - B A^{n} = i \text{ } n \text{ } A^{n-1} , \forall n \in \mathbb{N}}}$ .

Έφτασες στην πηγή και δεν ήπιες νερό. Πάμε από αυτό το σημείο και κάτω. Σβήνουμε δηλαδή ότι έχεις γράψει από κάτω του καθώς και τις δύο γραμμές από πάνω του.

Έχουμε για κάθε

ότι

$\displaystyle{ n ||A^{n-1} || = || i \text{ } n \text{ } A^{n-1} || = || A^{n} B - B A^{n} || \le || A^{n} B|| + || B A^{n} ||= }$

$\displaystyle{= || A^{n-1} AB|| + || BA A^{n-1} ||\le || A^{n-1} || \cdot || AB|| + || BA || \cdot ||A^{n-1} || }$

Απλοποιούμε το $\displaystyle{||A^{n-1}|| }$ καθώς χωρίς βλάβη μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι μη μηδενικό (γιατί;), οπότε

$n \le ||AB|| + ||BA||$ . Άτοπο.

TrItOs · #3

Ευχαριστώ πολύ, στο μεταξύ αυτό προσπαθούσα για να καταλήξω σε άτοπο ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι φραγμένη το οποίο είναι αδύνατο. Ευχαριστώ και πάλι.

Δεν αληθευει A B - B A = i , οπου Α, Β φραγμενοι τελεστες σε χωρο απειρης διαστασης

Δεν αληθευει A B - B A = i , οπου Α, Β φραγμενοι τελεστες σε χωρο απειρης διαστασης

Re: Δεν αληθευει A B - B A = i , οπου Α, Β φραγμενοι τελεστες σε χωρο απειρης διαστασης

Re: Δεν αληθευει A B - B A = i , οπου Α, Β φραγμενοι τελεστες σε χωρο απειρης διαστασης

Μέλη σε σύνδεση