Κοινή εφαπτομένη

Λάμπρος Μπαλός · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:(1,+ \infty) \rightarrow R$ , με

f(x)=(x-1)lnx

και

, για κάθε x>1

.

Α. Να αποδείξετε ότι η

είναι κυρτή και η

είναι κοίλη στο $(1,+ \infty)$ .

Β. Να αποδείξετε ότι οι $C_{f},C_{g}$ έχουν σε κοινό τους σημείο, με τετμημένη $a \in (1,e)$ , κοινή εφαπτομένη η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y=x

.

Γ. Να αποδείξετε ότι $g(x) \leq f(x)$ , για κάθε x>1

.

Δ. Να αποδείξετε ότι
$3 < 2a - \frac{1}{a^{2}} < 2(e-1)$ .

#2

Ενδιαφέρον!

Έστω $a\in (1,e)$ η μοναδική λύση της εξίσωσης $lnx=\frac{1}{x}.$
Τότε $\displaystyle{f(a)=g(a).}$
Επιπλέον η f-g

παρουσιάζει ελάχιστο στο

οπότε δεν έχουμε άλλη λύση και βέβαια f'(a)=g'(a).

Η πρώτη ανισότητα είναι τώρα προφανής από κυρτότητα.

Για την δεύτερη
Η συνάρτηση $\displaystyle{2x-ln^2x+\frac{1}{x}-lnx}$ είναι γνησίως αύξουσα στο (1,e)

Λάμπρος Μπαλός · #3

socrates έγραψε: Σάβ Ιουν 11, 2022 10:52 pm Ενδιαφέρον!

Έστω $a\in (1,e)$ η μοναδική λύση της εξίσωσης $lnx=\frac{1}{x}.$
Τότε $\displaystyle{f(a)=g(a).}$
Επιπλέον η παρουσιάζει ελάχιστο στο οπότε δεν έχουμε άλλη λύση και βέβαια

Η πρώτη ανισότητα είναι τώρα προφανής από κυρτότητα.

Για την δεύτερη
Η συνάρτηση $\displaystyle{2x-ln^2x+\frac{1}{x}-lnx}$ είναι γνησίως αύξουσα στο

Ευχαριστώ πολύ Θανάση.
Αν δεν κάνω λάθος,
η συγκεκριμένη ενδιαφέρουσα συνάρτηση αποδεικνύει το ένα σκέλος της ζητούμενης ανισότητας. Η λύση μου είναι λίγο διαφορετική (στο Δ φυσικά).

Κοινή εφαπτομένη

Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση