Σωστό ή λάθος;

#1

Αν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f :\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της

με εξαίρεση το σημείο επαφής, τότε η

είναι κυρτή.

abgd · #2

socrates έγραψε: Σάβ Ιουν 11, 2022 9:40 pm Αν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f :\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της με εξαίρεση το σημείο επαφής, τότε η είναι κυρτή.

Πολύ καλό! Είναι Σωστό.

Έστω $\displaystyle{x_1, x_2 \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{x_1<x_2 }$

Οι εφαπτομένες στα $\displaystyle{x_1, x_2 }$ έχουν εξισώσεις $\displaystyle{y=f(x_1)+f^{\prime}(x_1)(x-x_1)}$ , και $\displaystyle{y=f(x_2)+f^{\prime}(x_2)(x-x_2)}$

Ισχύουν

$\displaystyle{f(x_2)>f(x_1)+f^{\prime}](x_1)(x_2-x_1)}$ και $\displaystyle{f(x_1)>f(x_2)+f^{\prime}(x_2)(x_1-x_2)}$

'Άρα

$\displaystyle{f^{\prime}(x_1)(x_2-x_1)<f(x_2)-f(x_1)<f^{\prime}(x_2)(x_2-x_1)}$

και έτσι έχουμε

$\displaystyle{f^{\prime}(x_1)<f^{\prime}(x_2) }$

δηλαδή η $\displaystyle{f^{\prime}}$ είναι γνησίως αύξουσα οπότε η $\displaystyle{f}$ είναι κυρτή.

#3

abgd έγραψε: Κυρ Ιουν 12, 2022 12:10 pm Πολύ καλό!

Τώρα που απαντήθηκε αξίζει να επισημάνω ότι η εν λόγω ιδιότητα είναι αρκετά γνωστή και περιέχεται σε έναν κατάλογο άλλων ισοδύναμων ορισμών αλλά οι οποίοι είναι συνήθως σκόρπιοι εδώ και εκεί.

Μπορείτε όμως να τους δείτε συγκεντρωμένους εδώ μαζί με πολλούς άλλους ισοδύναμους ή γενικότερους ορισμούς εντός και εκτός Σχολικής ύλης. Για τον συγκεκριμένο Βλέπε στο σημείο που λέει Functions of one variable.

#4

Υπάρχει και στον Εκθέτη #3 εδώ

Ισχύει και το αντίστοιχο για τις χορδές:
Αν οποιαδήποτε χορδή είναι πάνω από τη γραφική παράσταση
τότε η συνάρτηση είναι κυρτή .

Σωστό ή λάθος;

Σωστό ή λάθος;

Re: Σωστό ή λάθος;

Re: Σωστό ή λάθος;

Re: Σωστό ή λάθος;

Μέλη σε σύνδεση