Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Πεδγια · #1

Καλημέρα!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει αυτή την ταυτότητα:
$\displaystyle{\sqrt{3}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+ \cfrac{3}{3+\cfrac{6}{ 4+\cfrac{10 }{ 5+\cfrac{15}{ 6+\cfrac{21}{\cdots}}}}}}}}$

Σωκράτης Ντριάνκος · #2

http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Ntriankos.Sokratis.pdf

Πεδγια · #3

Ευχαριστώ για τον σύνδεσμο.

#4

Σωκράτης Ντριάνκος έγραψε: Παρ Ιούλ 08, 2022 11:01 pm http://me.math.uoa.gr/dipl/dipl_Ntriankos.Sokratis.pdf

Σωκράτη, χάνω κάτι;

Ναι μεν εξαιρετική η Διατριβή (την ήξερα άλλωστε από παλαιότερα) αλλά ασχολείται με τα λεγόμενα απλά συνεχή κλάσματα (αριθμητές ίσους με

). Η συγκεκριμένη ερώτηση εδώ ζητά συνεχές κλάσμα με αριθμητές $\frac {1}{2}n(n+1)$ στο n-οστό επίπεδο. Υπάρχει κάτι σχετικό στην διατριβή και δεν το βλέπω; Σε ποια σελίδα βρίσκεται; Ρωτάω γιατί η ανάρτηση ενός συνδέσμου υπονοεί παραπομπή στην λύση του προβλήματος, αλλά εδώ δεν φαίνεται να υπάρχει τέτοια παραπομπή.

Σωκράτης Ντριάνκος · #5

Έχετε δίκαιο...μετά από 30 χρόνια στα σχολεία, μετά από "άπειρες" παρατηρήσεις στους μαθητές να απομνημονεύουν την εκφώνηση και μετά να λύνουν την άσκηση...εγώ διάβασα μόνο την πρώτη γραμμή [ίσως άρχισαν τα ηλικιακά προβλήματα!].

add2math · #6

Έστω ότι $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
θα δείξουμε ότι $\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$
Πράγματι

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}\Leftrightarrow$
$2S_n=n(n+1)\Leftrightarrow$

$\frac{2S_n}{\sqrt{3}+1}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}}=\frac{n(n+1)}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}=\frac{n}{\sqrt{3}+1}\Leftrightarrow$

$\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$ (*)

Άρα
$\sqrt{3}=1+\sqrt{3}-1= 1+\frac{2}{\sqrt{3}+1}=$
$1+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=$
$1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=$
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{2}{\sqrt{3}+1}}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{S_2}{3+\frac{3}{\sqrt{3}+1}}}}=$ (από *)
$1+\frac{1}{1+\frac{S_1}{2+\frac{S_2}{3+\frac{S_3}{4+\frac{4}{\sqrt{3}+1}}}}}=\\$

κλπ

#7

add2math έγραψε: Σάβ Ιούλ 09, 2022 9:35 pm Έστω ότι $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
θα δείξουμε ότι $\frac{n}{\sqrt{3}+1}=\frac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}$

Σωστά και καλά. Το μόνο μου σχόλιο είναι ότι πλατειάζεις σε υπερθετικό βαθμό. Για παράδειγμα θέλεις καμιά δεκαρία γραμμές να δείξεις το παραπάνω, ενώ είναι άμεσο. Συγκεκριμένα, το δεξί μέλος είναι (και πολλά γράφω)

$\displaystyle{ \dfrac{S_n}{n+1+\frac{n+1}{\sqrt{3}+1}}= \dfrac{\frac {1}{2}n\cancel { {(n+1)}}}{\cancel {(n+1)}\left (1+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right ) }= \dfrac {n}{2\left ( 1 + \frac {\sqrt 3 -1}{2} \right )}= \dfrac {n}{2 + \sqrt 3 -1}=}$ αριστερό μέλος.

Πεδγια · #8

@add2math @Mihalis_Lambrou Ευχαριστώ.

Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Re: Τετραγωνική ρίζα του 3 εκφρασμένο ως άπειρο συνεχές κλάσμα

Μέλη σε σύνδεση