Τέλεια τετράγωνα

#1

Ένας θετικός ακέραιος

καλείται ευγενικός αν το σύνολο $\{1,2,\dots,N\}$ μπορεί να διαμεριστεί σε ζευγάρια στοιχείων του, με κάθε ζευγάρι να έχει άθροισμα που να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ευγενικοί αριθμοί οι οποίοι είναι και οι ίδιοι τέλεια τετράγωνα

thepigod762 · #2

achilleas έγραψε: Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:29 pm Ένας θετικός ακέραιος καλείται ευγενικός αν το σύνολο $\{1,2,\dots,N\}$ μπορεί να διαμεριστεί σε ζευγάρια στοιχείων του, με κάθε ζευγάρι να έχει άθροισμα που να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ευγενικοί αριθμοί οι οποίοι είναι και οι ίδιοι τέλεια τετράγωνα

Όποια ατέλεια γιατί γράφω από κινητό.

Θεωρούμε την τριάδα $(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2), m, n \in \mathbb{N}^*$ , που ως γνωστόν δίνει άπειρες το πλήθος πυθαγόρειες τριάδες.

Για N=a^2

, με ακριβώς έναν εκ των m,n

άρτιο και

αρκούντως μεγάλο ώστε a > b,

το $\{ 1,2, ..., a^2\}$ διαμερίζεται στα
$\{ 1, b^2-1 \}, \{ 2, b^2-2 \},..., \{\dfrac{b^2-1}{2}, \dfrac{b^2-1}{2} +1 \}, \{ b^2, a^2 \}, \{ b^2+1, a^2-1 \},..., \{ b^2+ \dfrac{a^2-b^2+1}{2}-1, a^2 - \dfrac{a^2-b^2+1}{2}+1\}$ , το άθροισμα των οποίων είναι b^2

και

και τελειώσαμε.

#3

thepigod762 έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 6:41 pm
achilleas έγραψε: Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:29 pm Ένας θετικός ακέραιος καλείται ευγενικός αν το σύνολο $\{1,2,\dots,N\}$ μπορεί να διαμεριστεί σε ζευγάρια στοιχείων του, με κάθε ζευγάρι να έχει άθροισμα που να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ευγενικοί αριθμοί οι οποίοι είναι και οι ίδιοι τέλεια τετράγωνα
Όποια ατέλεια γιατί γράφω από κινητό.

Θεωρούμε την τριάδα $(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2), m, n \in \mathbb{N}^*$ , που ως γνωστόν δίνει άπειρες το πλήθος πυθαγόρειες τριάδες.

Για , με ακριβώς έναν εκ των άρτιο και αρκούντως μεγάλο ώστε το $\{ 1,2, ..., a^2\}$ διαμερίζεται στα
$\{ 1, b^2-1 \}, \{ 2, b^2-2 \},..., \{\dfrac{b^2}{2}, \dfrac{b^2}{2} +1 \}, \{ b^2, a^2 \}, \{ b^2+1, a^2-1 \},..., \{ b^2+ \dfrac{a^2-b^2+1}{2}-1, \dfrac{a^2-b^2+1}{2} \}$ , το άθροισμα των οποίων είναι και και τελειώσαμε.

Ποιο είναι ένα άπειρο σύνολο ευγενικών αριθμών, δηλαδή;

thepigod762 · #4

achilleas έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 8:48 pm
thepigod762 έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 6:41 pm
achilleas έγραψε: Σάβ Ιούλ 16, 2022 6:29 pm Ένας θετικός ακέραιος καλείται ευγενικός αν το σύνολο $\{1,2,\dots,N\}$ μπορεί να διαμεριστεί σε ζευγάρια στοιχείων του, με κάθε ζευγάρι να έχει άθροισμα που να είναι τέλειο τετράγωνο. Να δειχθεί ότι υπάρχουν άπειροι ευγενικοί αριθμοί οι οποίοι είναι και οι ίδιοι τέλεια τετράγωνα
Όποια ατέλεια γιατί γράφω από κινητό.

Θεωρούμε την τριάδα $(a,b,c)=(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2), m, n \in \mathbb{N}^*$ , που ως γνωστόν δίνει άπειρες το πλήθος πυθαγόρειες τριάδες.

Για , με ακριβώς έναν εκ των άρτιο και αρκούντως μεγάλο ώστε το $\{ 1,2, ..., a^2\}$ διαμερίζεται στα
$\{ 1, b^2-1 \}, \{ 2, b^2-2 \},..., \{\dfrac{b^2}{2}, \dfrac{b^2}{2} +1 \}, \{ b^2, a^2 \}, \{ b^2+1, a^2-1 \},..., \{ b^2+ \dfrac{a^2-b^2+1}{2}-1, \dfrac{a^2-b^2+1}{2} \}$ , το άθροισμα των οποίων είναι και και τελειώσαμε.
Ποιο είναι ένα άπειρο σύνολο ευγενικών αριθμών, δηλαδή;

Ένα άπειρο σύνολο ευγενικών, που οι ίδιοι είναι τέλεια τετράγωνα, είναι το $\{ N: N=(m^2-n^2)^2, m>(\sqrt{2}+1)n, (m=even, n=odd) \eta (m=odd, n=even) \}$

#5

thepigod762 έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 6:41 pm ...

Για , με ακριβώς έναν εκ των άρτιο και αρκούντως μεγάλο ώστε το $\{ 1,2, ..., a^2\}$ διαμερίζεται στα
$\{ 1, b^2-1 \}, \{ 2, b^2-2 \},..., \{\dfrac{b^2}{2}, \dfrac{b^2}{2} +1 \}, \{ b^2, a^2 \}, \{ b^2+1, a^2-1 \},..., \{ b^2+ \dfrac{a^2-b^2+1}{2}-1, a^2 - \dfrac{a^2-b^2+1}{2}+1\}$ , το άθροισμα των οποίων είναι και και τελειώσαμε.

Εκείνο που πρέπει να ελεγχθεί, είναι γιατί η παραπάνω συλλογή συνόλων αποτελεί διαμέριση του $\{ 1,2, ..., a^2\}$ .

Είναι $\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2} +1=b^2+1$ που δεν είναι τελειο τετράγωνο. Άλλωστε, το πλήθος των αριθμών στο $\{1,2, \dots, b^2-1\}$ είναι περιττός αριθμός. Επομένως, ένας μένει μόνος στο τέλος.

Κυριάκος Τσουρέκας · #6

Θα γραψω μια λυση που ειχα δωσει στον κυριο Συνεφακοπουλο στα μαθηματα προετοιμασιας

Αρχικα, οι αριθμοι της μορφης N=16a^2

ειναι απειροι και τελεια τετραγωνα. Θα δειξουμε οτι αυτοι οι αριθμοι

ικανοποιουν τη συνθηκη.
Πραγματι, μπορουμε να χωρισουμε τους αριθμους 1, 2, ... 16a^2

σε δυο υποσυνολα X, Y

με
$X=\{1, 2, ... , 9a^2 -1\}$ και $Y=\{9a^2, 9a^2 +1, ... , 16a^2\}$ Το πρωτο συνολο αθροιζει στο 9a^2

και το 2ο στο 16a^2

Τελος, πρεπει τα X, Y

να εχουν αρτιο πληθος στοιχειων, το οποιο επιτυγχανεται οταν

περιττος. Επομενως, οι αριθμοι N=16a^2

με

περιττο ειναι οι ζητουμενοι.

thepigod762 · #7

achilleas έγραψε: Πέμ Ιούλ 21, 2022 10:44 pm
thepigod762 έγραψε: Τρί Ιούλ 19, 2022 6:41 pm ...

Για , με ακριβώς έναν εκ των άρτιο και αρκούντως μεγάλο ώστε το $\{ 1,2, ..., a^2\}$ διαμερίζεται στα
$\{ 1, b^2-1 \}, \{ 2, b^2-2 \},..., \{\dfrac{b^2}{2}, \dfrac{b^2}{2} +1 \}, \{ b^2, a^2 \}, \{ b^2+1, a^2-1 \},..., \{ b^2+ \dfrac{a^2-b^2+1}{2}-1, a^2 - \dfrac{a^2-b^2+1}{2}+1\}$ , το άθροισμα των οποίων είναι και και τελειώσαμε.
Εκείνο που πρέπει να ελεγχθεί, είναι γιατί η παραπάνω συλλογή συνόλων αποτελεί διαμέριση του $\{ 1,2, ..., a^2\}$ .

Είναι $\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{b^2}{2} +1=b^2+1$ που δεν είναι τελειο τετράγωνο. Άλλωστε, το πλήθος των αριθμών στο $\{1,2, \dots, b^2-1\}$ είναι περιττός αριθμός. Επομένως, ένας μένει μόνος στο τέλος.

Παρέλειψα ένα

στην διαμέριση που κατέστησε τις συνθήκες αρτιότητας έγκυρες. Σώζεται όμως, αν διαιρέσουμε με

στο πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνοντας τώρα μια παραλλαγή της τριάδας:
$(a,b,c)=(\dfrac{m^2-n^2}{2}, mn, \dfrac{m^2+n^2}{2}).$

Τώρα το

γίνεται περιττό και το

άρτιο για

περιττούς. Δεν αλλάζει κάτι άλλο στη λύση.

Σημ: το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση τέλειων τετραγώνων, το μικρότερο περιττό και το μεγαλύτερο άρτιο, με άθροισμα τέλειο τετράγωνο. Η λύση του Κυριάκου είναι πιο απλή, αλλά η χρήση πυθαγόρειων τριάδων το γενικεύει. Μάλιστα, αν γενικεύσουμε ακόμα περισσότερο με προσθήκη παραμέτρου πολλαπλασιάζοντας με $k^2, k\in \mathbb{N}^*$ στο πυθαγόρειο θεώρημα, είναι:
$(a,b,c)=(k\dfrac{m^2-n^2}{2}, kmn, k\dfrac{m^2+n^2}{2}),$
με ευγενικό τον $N=(k\dfrac{m^2-n^2}{2})^2.$

Για (m,n)=(3,1)

παίρνουμε την περίπτωση του Κυριάκου.

Τέλεια τετράγωνα

Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Re: Τέλεια τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση