Γι αυτό το λόγο

Eustathia p. · #1

: Γι αυτό το λόγο.png (6.18 KiB) Προβλήθηκε 765 φορές

Στο σχήμα το τετράπλευρο ABCD

είναι τετράγωνο. Βρείτε το λόγο , $\dfrac{{HD}}{{DE}}$

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Πολύ όμορφη άσκηση!

: Γι αυτό το λόγο.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Μου θύμισε αρκετά το 4ο πρόβλημα Ευκλείδη Α' Λυκείου 2020, οπότε η λύση μου είναι βασισμένη σε αυτό.

Είναι: $\angle FDC=27^{\circ}$ και $\angle ADE=18^{\circ}$ οπότε $\angle AED=72^{\circ}$

Έστω $HN\perp DE$ και $DL \perp EF$ .

Είναι: $\triangle ADE\approx \triangle DHN$ διότι είναι ορθογώνια και έχουν $\angle AED = \angle NDH=72^{\circ}$

Οπότε έχουμε τους λόγους ομοιότητας: $\dfrac{HN}{DA}=\dfrac{DN}{AE}=\dfrac{HD}{DE}$

Φέρουμε κύκλο (D,DF)

που τέμνει την προέκταση της

στο

.

Επίσης: $\triangle DKA=\triangle DCF$ διότι είναι ορθογώνια, DK=DF

και

.

Οπότε: $\angle KDA =\angle FDC=27^{\circ}$ και $\angle DKA = \angle DFC=63^{\circ}$

Έτσι ισχύει: $\triangle DKE=\triangle DFE$ καθώς: DK=DF

,

κοινή και $\angle KDE=\angle EDF=45^{\circ}$

Άρα είναι: $\angle KED =\angle FED=72^{\circ}$ δηλαδή: $\triangle DHE$ ισοσκελές.

Οπότε αφού

ύψος της βάσης θα είναι

μέσο του

και

διχοτόμος της $\angle DHE$ δηλαδή: $\angle DHN=18^{\circ}$

Έτσι, στο ορθογώνιο $\triangle DNH$ έχουμε: $\sin 18^{\circ}=\dfrac{DN}{DH}\Leftrightarrow DH=\dfrac{DN}{\sin 18^{\circ}}$

Και επειδή DE=2DN

θα είναι τελικά: $\dfrac{HD}{DE}=\dfrac{DN}{2DN\cdot \sin 18^{\circ}}=\dfrac{1}{2\cdot \sin 18^{\circ}}=1,6180339887...=\phi$

Ιστοσελίδα · #3

Eustathia p. έγραψε: Τρί Ιούλ 26, 2022 9:54 am Στο σχήμα το τετράπλευρο είναι τετράγωνο. Βρείτε το λόγο , $\dfrac{{HD}}{{DE}}$

: 2022-07-26_23-26-52.jpg (44.07 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Έστω $K \equiv AC \cap DF$

Λόγω συμμετρίας της διαγωνίου

, θα ισχύει $\angle KBC = \angle KDC = {27^0}$

Από τα εγγράψιμα $DKEA,\,KFBE$ εύκολα προκύπτει πως το τρίγωνο HDE

είναι χρυσό ισοσκελές τρίγωνο, οπότε $\dfrac{{HD}}{{DE}} = \varphi$

cool geometry · #4

$\widehat{FDC}=27^{0}, \widehat{ADE}=18^{0}.$
Θέτω AB=CD=x

, τότε:
Στο DCF

: $DF=\frac{x}{\sin 27^{0}}(1)$
Στο ADE

: $DE=\frac{x}{\sin 18^{0}}(2)$
Ακόμα $\widehat{EDF}=45^{0}(3)$
Από (1),(2),(3)

βρίσκουμε εύκολα με τριγωνομετρία τη γωνία $\widehat{FED}$ , άρα ξέρουμε τις γωνίες του τριγώνου HDE

και μπορούμε να υπολογίσουμε το λόγο $\frac{HD}{DE}$

Γι αυτό το λόγο

Γι αυτό το λόγο

Re: Γι αυτό το λόγο

Re: Γι αυτό το λόγο

Re: Γι αυτό το λόγο

Μέλη σε σύνδεση