Η κρυμμένη γωνία

cool geometry · #1

Έστω τετράπλευρο ABCD

με

. Αν $\widehat{DAC}=16^{0}, \widehat{BAC}=48^{0}, \widehat{DBC}=30^{0}$ , να αποδείξετε ότι $\widehat{ACD}=30^{0}.$

Φανης Θεοφανιδης · #2

: 99.png (16.09 KiB) Προβλήθηκε 1981 φορές

Επί της

θεωρώ σημείο

τέτοιο ώστε AP=AB

.
Παρατηρώ ότι το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου DBP

.
Οπότε $\angle DAP=2\angle DBP\Rightarrow \angle DAP=60^{0}\Rightarrow \angle CAP=44^{0}$ .
Αλλά $\angle APB=\angle ABP\Rightarrow \angle APB=\angle ABD+\angle DBP\Rightarrow$
$\Rightarrow \angle APB=88^{0}\Rightarrow \angle PCA=44^{0}$ .
Άρα PA=PD=PC

.
Επομένως το

είναι το περίκεντρο του τριγώνου CDA

.
Συνεπώς $\theta =\dfrac{\angle APD}{2}\Rightarrow \theta =30^{0}$ .

Έχω την εντύπωση ότι ο θεματοδότης δεν ασχολήθηκε καθόλου με την άσκηση πριν την ανεβάσει.

cool geometry · #3

Ας δώσω τη λύση που έχω κατά νου.
$\widehat{BAC}=48^{0}, \widehat{DAC}=16^{0}\Rightarrow \widehat{BAD}=64^{0}, \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=58^{0}, \widehat{ABC}=88^{0}, \widehat{ACB}=44^{0}.$
Θέτω AB=x

.
Ν. ημιτόνων στο ABD

: $\frac{x}{cos58^{0}}=\frac{BD}{cos64^{0}}\Rightarrow BD=\frac{x}{2\sin 64^{0}}(1)$
Ν. ημιτόνων στο ABC

: $\frac{x}{\cos 44^{0}}=\frac{BC}{\cos 48^{0}}\Rightarrow BC=\frac{\cos 48^{0}}{\cos 44^{0}} \cdot x(2)$
Ακόμα $\widehat{DBC}=30^{0}(3)$
Από (1),(2),(3)

εύκολα με τριγωνομετρία υπολογίζουμε τη γωνία $\widehat{BCD}$ και μετά τη γωνία $\widehat{ACD}$

cool geometry · #4

Φάνη παίρνεις

#5

cool geometry έγραψε: Τετ Αύγ 03, 2022 7:21 am ...
Από εύκολα με τριγωνομετρία υπολογίζουμε τη γωνία $\widehat{BCD}$ και μετά τη γωνία $\widehat{ACD}$

Δεδομένου ότι βγαίνει $\widehat{BCD}=74^\circ$ , δεν είμαι σίγουρος πόσο "εύκολο" είναι να το δείξει κάποιος με τριγωνομετρία.

Θα θέλαμε να δούμε τις λεπτομέρειες, μήπως μας ξεφεύγει κάτι.

Φιλικά,

Αχιλλέας

cool geometry · #6

Σκεφτείτε ότι:
$44^{0}=\frac{58^{0}+30^{0}}{2}, 48^{0}=150^{0}-(58^{0}+44^{0}).$

cool geometry · #7

Αχιλλέα, κάνε το εξής:
Στο ABD

:

Στο

: $\frac{x}{\cos 44^{0}}=\frac{AC}{\cos 88^{0}}\Rightarrow AC=2\cdot \cos 46^{0}\cdot x$
Στο ACD

: $CD^{2}=(2\cdot \cos 46^{0}\cdot x)^{2}+x^{2}-4\cdot \cos 46^{0}\cdot \sin 16^{0}\cdot x^{2}$
Στο ACD

: $\frac{x^{2}\cdot (4cos^{2}46^{0}-4\cos 46^{0}\cdot \sin 16^{0}+1)}{cos^{2}16^{0}}=\frac{x^{2}}{cos^{2}\widehat{ACD}}\Rightarrow cos^{2}\widehat{ACD}^{}=\frac{1}{4}\Rightarrow \widehat{ACD}=30^{0}.$
Προκύπτει αν θέσεις $46^{0}=30^{0}+16^{0}\Rightarrow 4cos^{2}(30^{0}+16^{0})-4\cos (30^{0}+16^{0})\cdot \sin 16^{0}+1=...=3cos^{2}16^{0}+(1-sin^{2}16^{0})=4cos^{2}16^{0}\Rightarrow cos^{2}\widehat{ACD}=\frac{cos^{2}16^{0}}{4cos^{2}16^{0}}=\frac{1}{4}\Rightarrow \widehat{ACD}=30^{0}.$

cool geometry · #8

Την πρώτη φορά μου βγήκε το ίδιο, δηλαδή $cos^{2}\widehat{ACD}=\frac{cos^{2}16^{0}}{3cos^{2}16^{0}+(1-sin^{2}16^{0})}$ , το έβγαλα $\frac{1}{2}= cos^{2}\widehat{ACD}\Rightarrow \widehat{ACD}=45^{0}$ από βιασύνη, εκεί ήταν το λάθος.
Το επισημαίνω για να μην λένε κάποιοι ότι δεν ασχολήθηκα καθόλου.

cool geometry · #9

Αχιλλέα, σε κάλυψα; Τα είπα όσο πιο αναλυτικά γίνεται για να το καταλάβουν και οι μαθητές.
Αυτή είναι η ομορφιά των μαθηματικών, ότι οι ασκήσεις λύνονται με πολλούς διαφορετικούς τρόπους.

#10

cool geometry έγραψε: Τετ Αύγ 03, 2022 1:29 pm Αχιλλέα, σε κάλυψα; Τα είπα όσο πιο αναλυτικά γίνεται για να το καταλάβουν και οι μαθητές.
Αυτή είναι η ομορφιά των μαθηματικών, ότι οι ασκήσεις λύνονται με πολλούς διαφορετικούς τρόπους.

Όχι, ακριβώς. Η άσκηση έχει προταθεί στο φάκελο της Γ' Γυμνασίου, οπότε η παραπάνω (σκιαγραφημένη) λύση είναι εκτός φακέλου.

Καλό θα είναι να δίνονται πλήρεις λύσεις, ώστε να τις κατανοούν και οι μαθητές.

Δεν χρειάζονται πολλαπλά post το ένα κάτω από το άλλο, αλλά ένα ολοκληρωμένο είναι αρκετό. Άλλωστε, υπάρχει και η δυνατότητα επεξεργασίας ενός post, εάν σκεφτούμε κάτι αργότερα.

Επίσης, αφού προτείνουμε ένα πρόβλημα, ας είμαστε υπομονετικοί. Η λειτουργία του forum είναι διαφορετική από τα social media.

Φιλικά,

Αχιλλέας

cool geometry · #11

Αχιλλέα, ούτε η λύση του Φάνη είναι επιπέδου Γ' Γυμνασίου.
Φαντάζομαι λες ότι είναι εκτός ύλης η λύση μου, λόγω τριγωνομετρίας Β' Λυκείου ή κάνω λάθος;
Υπενθυμίζω ότι οι περισσότερες(σχεδόν όλες) ασκήσεις που μπαίνουν στο

δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν από έναν μέσο μαθητή και πολλές ασκήσεις στους φακέλους αυτούς έχουν λυθεί με θεωρήματα εκτός ύλης.
Νομίζω ότι τα λες λίγο υπερβολικά και είσαι αυστηρός.
Εσύ δηλαδή τι λύση θα έδινες, χρησιμοποιώντας μόνο τις σχολικές γνώσεις Γ' Γυμνασίου; Νομίζω ότι δεν θα έκανες κάτι διαφορετικό.

#12

cool geometry έγραψε: Τετ Αύγ 03, 2022 6:58 pm Αχιλλέα, ούτε η λύση του Φάνη είναι επιπέδου Γ' Γυμνασίου.
Φαντάζομαι λες ότι είναι εκτός ύλης η λύση μου, λόγω τριγωνομετρίας Β' Λυκείου ή κάνω λάθος;
Υπενθυμίζω ότι οι περισσότερες(σχεδόν όλες) ασκήσεις που μπαίνουν στο δεν μπορούν να αντιμετωπιστούν από έναν μέσο μαθητή και πολλές ασκήσεις στους φακέλους αυτούς έχουν λυθεί με θεωρήματα εκτός ύλης.
Νομίζω ότι τα λες λίγο υπερβολικά και είσαι αυστηρός.
Εσύ δηλαδή τι λύση θα έδινες, χρησιμοποιώντας μόνο τις σχολικές γνώσεις Γ' Γυμνασίου; Νομίζω ότι δεν θα έκανες κάτι διαφορετικό.

Το θέμα αυτό δεν προτάθηκε από τον Φάνη σε αυτό τον φάκελο. Εν καιρώ, θα μετακινηθεί στο φάκελο Β' Λυκείου.

Η κρυμμένη γωνία

Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Re: Η κρυμμένη γωνία

Μέλη σε σύνδεση