Λόγος..περίΦημος!

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ. Φρέσκια σύνθεση, με χρήση του σχήματος

: 6-8 Λόγος ..περίΦημος!.png (154.59 KiB) Προβλήθηκε 1365 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει $\widehat{A}>90^o$ και το $M \in BC$ . Πάνω από το

και έξω από τους κύκλους των (B,A,M)

και

θεωρούμε το σημείο

ώστε η

να τέμνει τον πρώτο κύκλο στο

και η

να τέμνει τον δεύτερο στο

.

Έστω

το μήκος του μπλε τόξου που ορίζουν τα B,A,C

ενώ

.

Αν ισχύει $\widehat{EFH}+\widehat{EMH}=\dfrac{7\pi }{10}$ τότε: Να βρεθεί ο λόγος $\dfrac{l}{a}$

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

cool geometry · #2

$\widehat{BEM}+\widehat{MHC}=126^{0}=\widehat{BAM}+\widehat{MAC}$ (από εγγράψιμα) $=\widehat{BAC}$
Αν (O,R)

ο περίκυκλος του ABC

, τότε $\widehat{BOC}=360^{0}-2\cdot 126^{0}=108^{0}, \widehat{OBC}=\widehat{OCB}=36^{0}\Rightarrow \frac{R}{\cos 36^{0}}=\frac{a}{\cos 108^{0}}\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin 36^{0}}(1)$
Μήκος κύκλου= $2\cdot \frac{a}{2\sin 36^{0}}\cdot 3,14=\frac{a}{\sin 36^{0}}\cdot 3,14\Rightarrow l=\frac{a}{\sin 36^{0}}\cdot 3,14\cdot \frac{108^{0}}{360^{0}}(2)$
Άρα $\frac{l}{a}=\frac{2}{5}\cdot 3,14\cdot \sin 36^{0}$

cool geometry · #3

, τυπογραφικό. Είναι $\frac{l}{a}=\frac{6,28}{5\sin 36^{0}}$

kfd · #4

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλησπέρα.
Να ευχαριστήσω τους cool geometry και kfd για την ενασχόλησή τους με το θέμα, αν και θα προτιμούσα

να απευθύνομαι σε ονόματα συναδέλφων (όπως και μαθητών) και όχι σε ψευδώνυμα..

Δύο λόγια σχετικά με το θέμα: Ίσως είναι χρήσιμο σε κάποιους να εξηγήσουμε γιατί ισχύει $\widehat{BEM}+\widehat{MHC}=126^{0}$ .

Το αποτέλεσμα που βρίσκω συμφωνεί με αυτό του kfd : $\dfrac{l}{a}=\dfrac{3\pi }{5}\left ( \Phi -1 \right )=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\pi }{\Phi }$

Φιλικά πάντοτε, Γιώργος

cool geometry · #6

Λοιπόν $\widehat{BEM}+\widehat{MHC}=(180^{0}-\widehat{FEM})+(180^{0}-\widehat{FHM})=360^{0}-(\widehat{FEM}+\widehat{FHM})=\widehat{EFH}+\widehat{EMH}=126^{0}.$
Συνάδελφε, ξαναδές τη λύση μου. Είναι σίγουρα σωστή(το ξέρω, μαθηματικός είμαι)

Γιώργος Μήτσιος · #7

cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 08, 2022 6:46 pm Λοιπόν $\widehat{BEM}+\widehat{MHC}=(180^{0}-\widehat{FEM})+(180^{0}-\widehat{FHM}) =360^{0}-(\widehat{FEM}+\widehat{FHM})= \widehat{EFH}+\widehat{EMH}=126^{0}.$

Συνάδελφε

.Τώρα, νομίζω, είναι κατανοητή σε περισσότερους!

Υπάρχει βεβαίως κι' άλλος λόγος - θα φανεί ..

.. προσεχώς- που τονίζω τη σχέση $\widehat{BAC}=\widehat{EFH}+\widehat{EMH}$

cool geometry έγραψε: Σάβ Αύγ 06, 2022 2:52 pm
cool geometry έγραψε: Δευ Αύγ 08, 2022 6:46 pm
Συνάδελφε, ξαναδές τη λύση μου. Είναι σίγουρα σωστή(το ξέρω, μαθηματικός είμαι)
, τυπογραφικό. Είναι $\frac{l}{a}=\frac{6,28}{5\sin 36^{0}}$

Δεν είπα ότι η τιμή του λόγου $\dfrac{l}{a}=\dfrac{3\pi }{5}\left ( \Phi -1 \right )=\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{\pi }{\Phi }$ είναι -κατ΄ανάγκην- η σωστή

βλέπω πάντως ότι είναι διαφορετική από την $\dfrac{l}{a}=\dfrac{6,28}{5\sin 36^{0}}$ που είναι μεγαλύτερη από

Μια σκέψη μόνο: Ο λόγος μηκών του ελάσσονος τόξου προς τη χορδή του είναι πάνω από

κι' όχι μεγαλύτερος από $\dfrac{\pi }{2}$ (ημικύκλιο προς διάμετρο)...

Φιλικά, Γιώργος.

cool geometry · #8

απλά για να ξέρεις το όνομά μου, με λένε Μιχάλη. Κι εγώ το προτιμώ από το ψευδώνυμο.

cool geometry · #9

Μία λύση ...
Είναι $\boldsymbol{\measuredangle BEM+\measuredangle MHC= \measuredangle EFH+\measuredangle EMH=\measuredangle BAM+\measuredangle MAC=\measuredangle BAC,}$ άρα $\boldsymbol{\measuredangle BAC=126^{0},}$ αν $\boldsymbol{O}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\boldsymbol{\bigtriangleup ABC, }$ τότε θα είναι εύκολα $\boldsymbol{\measuredangle BOC=360^{0}-2\measuredangle BAC=108^{0},\measuredangle OBC=\measuredangle OCB=36^{0}\Rightarrow \frac{BC}{OC}=\Phi (1).}$
Επομένως το μήκος του μπλε τόξου ισούται με $\boldsymbol{l=2\pi \cdot OC\cdot \frac{108^{0}}{360^{0}}=\frac{3}{5}\pi \cdot OC\Rightarrow ^{(1)}\frac{BC}{l}=\frac{BC}{\frac{3}{5}\pi \cdot OC}=\frac{\Phi }{\frac{3}{5}\pi }\Rightarrow \frac{l}{BC}=\frac{3}{5} \cdot \frac{\pi }{\Phi }.}$

Λόγος..περίΦημος!

Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Re: Λόγος..περίΦημος!

Μέλη σε σύνδεση