Αριστεία στο τετράγωνο

#1

: Αριστεία στο τετράγωνο.png (8.08 KiB) Προβλήθηκε 861 φορές

Δίνεται τετράγωνο ABCD

πλευράς

και το ημικύκλιο διαμέτρου

εντός του τετραγώνου. Από το

φέρνω

ευθεία που εφάπτεται του ημικυκλίου στο

και τέμνει την

στο

α) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{(ADF)}}{{(ABCF)}} = \frac{3}{5}.$

β) Αν a=5

να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ABE.

#2

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 08, 2022 7:43 pm Αριστεία στο τετράγωνο.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς και το ημικύκλιο διαμέτρου εντός του τετραγώνου. Από το φέρνω

ευθεία που εφάπτεται του ημικυκλίου στο και τέμνει την στο α) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{(ADF)}}{{(ABCF)}} = \frac{3}{5}.$

β) Αν να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

Ας είναι

τότε και

( εφαπτόμενα τμήματα σε κύκλο). Για ίδιους λόγους AB = AE = a = AD

.

Από τη δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο $\left( {A,a} \right)$ θα έχω:

$D{F^2} = FE\left( {FE + 2EA} \right) \Rightarrow {\left( {a - x} \right)^2} = x\left( {x + 2a} \right)$ απ’ όπου, $x = \dfrac{a}{4}\,\,\left( 1 \right)$

: Αριστεία στο τετράγωνο.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 843 φορές

Τώρα θα έχω: $\left\{ \begin{gathered} \left( {ADF} \right) = \frac{{3{a^2}}}{8} \hfill \\ \left( {ABCF} \right) = {a^2} - \left( {ADF} \right) = \frac{{5{a^2}}}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\dfrac{{\left( {ADF} \right)}}{{\left( {ABCF} \right)}} = \dfrac{3}{5}}$

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Επειδή $AE = 4EF \Rightarrow AT = 4TC$ έτσι αν BC = 5

θα είναι

.

$\boxed{\left( {ABE} \right) = \frac{{4 \cdot 5}}{2} = 10}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 08, 2022 7:43 pm Αριστεία στο τετράγωνο.png
Δίνεται τετράγωνο πλευράς και το ημικύκλιο διαμέτρου εντός του τετραγώνου. Από το φέρνω

ευθεία που εφάπτεται του ημικυκλίου στο και τέμνει την στο α) Να δείξετε ότι $\displaystyle \frac{{(ADF)}}{{(ABCF)}} = \frac{3}{5}.$

β) Αν να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου

Είναι

άρα

και $\dfrac{x}{a}= \dfrac{CE}{EZ}= (\dfrac{a}{2a})^2= \dfrac{1}{4} \Rightarrow x= \dfrac{a}{4}$

$\dfrac{(ADF)}{(ABCF)} = \dfrac{a. \dfrac{3a}{4} }{(a+ \dfrac{a}{4})a } = \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{ZE}{EC}=4 \Rightarrow \dfrac{ZE}{ZC}= \dfrac{EQ}{a}= \dfrac{4}{5} \Rightarrow EQ= \dfrac{4a}{5}$ άρα $(EAB) = \dfrac{2a^2}{5}$

Για $a=5\Rightarrow (EAB)=10$

: Αριστεία στο τετράγωνο.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 814 φορές

cool geometry · #4

$\angle ABE=\angle AEB=\angle BCE=y, EC=a\cdot \sin y\Rightarrow \frac{EF}{\sin y}=\frac{a\cdot \sin y}{\cos 2y}\Rightarrow EF=a\cdot \frac{\sin y}{2\cos y}(1)$
$\angle DAF=2y-90^{0}\Rightarrow \sin (2y-90^{0})=\frac{a}{AF}\Rightarrow AF=\frac{a}{\cos 2y}\Rightarrow EF=a(\frac{1}{\cos 2y}-1)(2)$
$(1),(2)\Rightarrow \frac{\sin y}{2\cos y}=\frac{1}{\cos 2y}-1\Rightarrow \frac{sin^{2}y}{2\cos y\sin y}-\frac{1}{2\cos y\sin y}=-1\Rightarrow \frac{cos^{2}y}{2\cos y\sin y}=1\Rightarrow \frac{\cos y}{2\sin y}=1\Rightarrow \tan y=2\Rightarrow \tan (2y-90^{0})=\frac{3}{4}\Rightarrow DF=\frac{3a}{4}\Rightarrow (ADF)=\frac{3a^{2}}{8}, (ABCF)=\frac{5a^{2}}{8}\Rightarrow \frac{(ADF)}{(ABCF)}=\frac{3}{5}.$
στο δεύτερο ερώτημα για $a=5\Rightarrow (ABE)=10.$

kfd · #5

a. $\left ( ABCF \right )=AF\cdot \frac{\alpha }{2},\left ( ADF \right )=\frac{AF\cdot DK}{2},\sigma \upsilon \nu \angle ADK=\frac{DK}{\alpha }\Rightarrow DK=\alpha \cdot \left ( 2\sigma \upsilon \nu ^{2} \angle BAO-1\right )=\frac{3\alpha }{5}$ ,
αφού $\sigma \upsilon \nu ^{2}\angle BAO=\frac{4}{5}$ .
$\angle ADK=\angle BAE$ ως οξείες με πλευρές κάθετες και ΑΟ διχοτόμος αφού ΒΑΕΟ χαρταετός. Άρα ο ζητούμενος λόγος είναι $\frac{3}{5}$ .
b. $\left ( ABE \right )=2\cdot \left ( ABP \right )=AP\cdot PB=\frac{2\alpha }{\sqrt{5}}\cdot \frac{\alpha }{\sqrt{5}}=10,$ με πυθαγόρειο στο ABP

.

Αριστεία στο τετράγωνο

Αριστεία στο τετράγωνο

Re: Αριστεία στο τετράγωνο

Re: Αριστεία στο τετράγωνο

Re: Αριστεία στο τετράγωνο

Re: Αριστεία στο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση