Πολύγωνο

#1

Το καρό επίπεδο είναι χρωματισμένο ασπρόμαυρο, όπως μια σκακιέρα. Ένα πολύγωνο $\Pi$ με εμβαδό

και περίμετρο

αποτελείται από κάποια από αυτά τα μοναδιαία τετραγωνάκια, (δηλ. οι πλευρές του πολύγωνου είναι παράλληλες με τις πλευρές των τετραγώνων στο σύνορο του). Να δειχθεί ότι το πολύγωνο $\Pi$ περιέχει όχι περισσότερα από $\dfrac {S} {2} + \dfrac {P} {8}$ και όχι λιγότερα από $\dfrac {S} {2} - \dfrac {P} {8}$ μοναδιαία τετραγωνάκια του ίδιου χρώματος.

#2

Γράφουμε

και

για την οριζόντια και κάθετη περίμετρο αντίστοιχα. Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι $P_V \leqslant P_H$ .

Χωρίζουμε το σχήμα στις οριζόντιες λωρίδες που δημιουργούνται από την κάθετη περίμετρο. Σε κάθε λωρίδα η διαφορά του πλήθους των μαύρων και άσπρων κελιών είναι το πολύ 1. Επίσης κάθε λωρίδα συνεισφέρει

στο

. Αν λοιπόν γράψουμε B,W

για το συνολικό πλήθος των μαύρων και άσπρων κελιών θα έχουμε

$\displaystyle -\frac{P_V}{2} \leqslant B-W \leqslant \frac{P_V}{2}$

Αφού επίσης έχουμε B+W = S

, τότε παίρνουμε

$\displaystyle B,W \leqslant \frac{S}{2} + \frac{P_V}{4} \leqslant \frac{S}{2} + \frac{P}{8}$

Η άλλη ανισότητα προκύπτει με παρόμοιο τρόπο ή και άμεσα από αυτήν που αποδείξαμε.

Πολύγωνο

Πολύγωνο

Re: Πολύγωνο

Μέλη σε σύνδεση