Ελάχιστο πλήθος πρώτων

#1

Αρκετοί (όχι απαραίτητα διαφορετικοί) πρώτοι αριθμοί γράφονται στον πίνακα έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με 2020 φορές το άθροισμά τους. Προσδιορίστε τον μικρότερο δυνατό αριθμό από αυτούς.

fogsteel · #2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 01, 2022 8:09 pm
Αρκετοί (όχι απαραίτητα διαφορετικοί) πρώτοι αριθμοί γράφονται στον πίνακα έτσι ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με 2020 φορές το άθροισμά τους. Προσδιορίστε τον μικρότερο δυνατό αριθμό από αυτούς.

Αφού $\displaystyle{2020 = 20*101 = 2^2*5*101}$ , τοτε πρέπε οι αριθμοί $\displaystyle{2 , 2 , 5 , 101}$ να είναι γραμμένοι στον πίνακα .

Αν $\displaystyle{p_{1} , p_{2} , ... p_{k}}$ οι υπόλοιποι πρώτοι τότε :

$\displaystyle{2020p_{1} p_{2} ... p_{k} = 2020(2 + 2 + 5 + 101 + p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}) \Leftrightarrow p_{1} p_{2} ... p_{k} = 110 + p_{1} + p_{2} + ... + p_{k}.}$

Αν $\displaystyle{k = 2}$ , τότε ισοδυναμεί με $\displaystyle{(p_{1} - 1)(p_{2} - 1) = 111 = 3*37}$ , η οποία δεν δίνει λύση με $\displaystyle{p_{1} , p_{2}}$ πρώτους.
Αν $\displaystyle{k = 3}$ , με δοκιμές βρίσκουμε ότι $\displaystyle{p_{1} = p_{2} = p_{3} = 5}$ είναι μία δεκτή λύση.

Άρα το μικρότερο πλήθος ισούται με $\displaystyle{4 + k = 4 +3 = 7}$

#3

Ελάχιστο πλήθος πρώτων

Ελάχιστο πλήθος πρώτων

Re: Ελάχιστο πλήθος πρώτων

Re: Ελάχιστο πλήθος πρώτων

Μέλη σε σύνδεση