Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Ανδρέας Πούλος · #1

Ένα ερώτημα βρήκα σε βιβλίο, το οποίο νομίζω έχει ενδιαφέρον για τη διδασκαλία.
"Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από μία μη παράλληλη ευθεία προς άξονα xx΄

σε άπειρα σημεία;".
Να αιτιολόγησετε τον ισχυρισμό σας.
Μετά τις απαντήσεις θα δώσω και την πηγή του ερωτήματος.

#2

#3

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Παρ Σεπ 02, 2022 2:20 pm Ένα ερώτημα βρήκα σε βιβλίο, το οποίο νομίζω έχει ενδιαφέρον για τη διδασκαλία.
"Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από μία μη παράλληλη ευθεία προς άξονα σε άπειρα σημεία;".
Να αιτιολόγησετε τον ισχυρισμό σας.
Μετά τις απαντήσεις θα δώσω και την πηγή του ερωτήματος.

Υπάρχουν πάμπολλα παραδείγματα. Ας δούμε ένα που είναι με γραφική παράσταση, και δεν χρειάζεται καθόλου να πονοκεφαλίσεις για να βρεις τύπο. Δείχνει μάλιστα ότι το ερώτημα είναι ουσιαστικά τετριμμένο.

Παίρνεις μία ευθεία της αρεσκείας σου, π.χ. την y=x

. Μετά πηγαίνοντας προς τα δεξιά παίρνεις σημεία $A_1,\, A_2,\, A_3, ...$ που είναι κάτω από την ευθεία αυτή. Κατόπιν παίρνεις σημεία $B_1,\, B_2,\, B_3, \,...$ που έχουν τετμημένη στα εμδιάμεσα των σημείων που πήρες στο προηγούμενο βήμα αλλά βρίσκονται πάνω από την εν λόγω ευθεία. Τέλος ενώνεις με μία ζιγκ ζαγκ γραμμή όλα τα προαναφερθέντα σημεία. Τελειώσαμε.

: zig zag.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 1940 φορές

Ανδρέας Πούλος · #4

Τώρα βάζω το αυθεντικό ερώτημα του βιβλίου (της πηγής).
Νομίζω ότι αυτό είναι ποιο ενδιαφέρον.
"Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από οποιαδήποτε μη παράλληλη ευθεία προς άξονα xx΄ σε άπειρα σημεία;".

Άρης Μερσιέ · #5

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Παρ Σεπ 02, 2022 11:53 pm Τώρα βάζω το αυθεντικό ερώτημα του βιβλίου (της πηγής).
Νομίζω ότι αυτό είναι ποιο ενδιαφέρον.
"Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από οποιαδήποτε μη παράλληλη ευθεία προς άξονα xx΄ σε άπειρα σημεία;".

Μπορεί να μην καταλαβαίνω κάτι στην ερώτηση. Αν η ευθεία του ερωτήματος είναι κάθετη στον x'x

, τότε θα τέμνει την γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης σε

σημείο το πολύ, από τον ορισμό της συνάρτησης. Άρα η απάντηση στην ερώτηση είναι όχι.

#6

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Παρ Σεπ 02, 2022 11:53 pm "Υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να τέμνεται από οποιαδήποτε μη παράλληλη ευθεία προς άξονα xx΄ σε άπειρα σημεία;".

Ναι, υπάρχει. Μικρή παραλλαγή αυτής που περιέγραψα στο προηγούμενο ποστ, κάνει την δουλειά. Συγκεκριμένα, παίρνουμε τα B_n

να ανεβαίνουν "γρήγορα" προς το συν άπειρο και τα A_n

να κατεβαίνουν "γρήγορα" προς το πλην άπειρο. Π.χ. πάρε τα σημεία $A_n(2n,\, -n^2)$ και $B_n(2n+1,\, n^2)$ και ζωγράφισε την ζιγκ ζαγκ γραμμή A_1B_1A_2B_2...

.

Εύκολα βλέπουμε ότι τέμνει άπειρες φορές οποιαδήποτε ευθεία (εννοείται, πλην των κατακόρυφων), παράλληλη ή όχι του άξονα των

.

Φυσικά μπορούμε να δώσουμε παραδείγματα με τύπο. Ένα απλό είναι η $y=\tan x$ (στα $k\pi + \pi /2$ μπορείς να την επεκτείνεις/ορίσεις όπως θέλεις, π.χ. να είναι ίση με 2022

).

Άλλο ακόμα παράδειγμα η $y= e^x\sin x$ .

Ανδρέας Πούλος · #7

Η πηγή από όπου πήρα το ερώτημα είναι αυτή:
"A Mathematical Orchard. Problems and Solutions". Krusemeyer & Gilbert & Larson. Έκδοση Μ.Α.Α. 2011,
σελίδα 1, πρόβλημα 4.
Εκεί δίνουν ως παράδειγμα λύσης τη συνάρτηση f(x) = x^2sinx

συνάρτηση την οποία σχολιάζουν εκτενώς και οι οδηγίες του Ι.Ε.Π. για την Γ ΓΕ.Λ.
Η ιδέα της απάντησης είναι η ίδια που διατύπωσε ο φίλος Μιχάλης Λάμπρου.

#8

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Δευ Σεπ 05, 2022 12:08 am Η πηγή από όπου πήρα το ερώτημα είναι αυτή:
"A Mathematical Orchard. Problems and Solutions". Krusemeyer & Gilbert & Larson. Έκδοση Μ.Α.Α. 2011,
σελίδα 1, πρόβλημα 4.
Εκεί δίνουν ως παράδειγμα λύσης τη συνάρτηση
συνάρτηση την οποία σχολιάζουν εκτενώς και οι οδηγίες του Ι.Ε.Π. για την Γ ΓΕ.Λ.
Η ιδέα της απάντησης είναι η ίδια που διατύπωσε ο φίλος Μιχάλης Λάμπρου.

Ανδρέα καλημέρα...

Επειδή αρέσκομαι στα σχήματα αναρτώ και το γράφημα της συγκεκριμένης συνάρτησης το οποίο έχει
ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

: Τομή σε άπειρα σημεία 1.png (42.63 KiB) Προβλήθηκε 1706 φορές

Στο σχήμα αυτό, όπως το δηλώνω με χρώματα και σύμβολα παρουσιάζω το γράφημα της
συνάρτησης:

$\displaystyle{f(x)=x^2sinx \ \ (1) }$

η οποία έχει ως "συνοριακή γραμμμή" την παραβολή:

$\displaystyle{g(x)=x^2 \ \ (2) }$

Κι αυτό διότι:

$\displaystyle{ \abs(x^2sinx) \leq x^2 \Rightarrow -x^2 \leq x^2sinx \leq x^2 }$

Αν θεωρήσουμε τώρα όλες τις ευθείες του επιπέδου οι οποίες είναι μή παράλληλες προς τον
άξονα των τετμημένων τότε αυτές εκπροσωπούνται (ως κλάσεις ισοδυναμίας) από τη δέσμη
όλων των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων, δηλαδή τις ευθείες:

$\displaystyle{y=mx, m \in R^* \ \ (3) }$

Οι ευθείες αυτές τέμνουν όλες την παραβολή σε ένα σημείο $\displaystyle{S}$ με τετμημένη ίση με $\displaystyle{x_S=m}$ κάθε φορά και συνεπώς και
το γράφημα της συνάρτησης σε άπειρα σημεία λόγων της επαναληπτικότητας της τριγωνομετρικής
μορφής της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ .

Κι αυτό διότι:

$\displaystyle{\begin{pmatrix} y=x^2 \\y=mx \end{pmatrix} \Rightarrow x=m, x \neq 0 }$

βέβαια από την ανωτέρω δέσμη εξαιρείται η $\displaystyle{x=0}$ και βέβαια όλες οι κάθετες στον άξονα των τετμημένων, όπως τονίστηκε
από τον Άρη Μερσιέ και το Μιχάλη Λάμπρου.

Αναρτώ κι ένα ακόμα στιγμιότυπο της ανωτέρω συνάρτησης:

: Τομή σε άπειρα σημεία 2.png (56.15 KiB) Προβλήθηκε 1706 φορές

Κώστας Δόρτσιος

Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Re: Ευθεία που τέμνει την γραφική παράσταση συνάρτησης άπειρες φορές

Μέλη σε σύνδεση