Βασανιστική ισότητα

KARKAR · #1

: Βασανιστική ισότητα.png (8.33 KiB) Προβλήθηκε 857 φορές

Να αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο

, ώστε αν τέμνει τις OA , OB

στα σημεία P , T

αντίστοιχα , να προκύπτει ότι : AP=BT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 8:37 pm
Βασανιστική ισότητα.pngΝα αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο , ώστε αν τέμνει τις

στα σημεία αντίστοιχα , να προκύπτει ότι : .

Μόνο η περίπτωση του σχήματος του Θανάση .

Ας είναι $P\left( {k,0} \right)\,\,,k > 5$ . Τότε η παραμετρική εξίσωση της

είναι : $3x + \left( {k - 8} \right)y - 3k = 0$ .

Από το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών $OB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS$ έχω: $\left\{ \begin{gathered} y = \frac{{3x}}{4} \hfill \\ 3x + \left( {k - 8} \right)y - 3k = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{T\left( {\frac{{4k}}{{k - 4}},\frac{{3k}}{{k - 4}}} \right)}$ . Ας είναι , $\left\{ \begin{gathered} a = \frac{{4k}}{{k - 4}} \hfill \\ b = \frac{{3k}}{{k - 4}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ $\left( 1 \right)$

Η απαίτηση BT = AP

μεταφράζεται στην εξίσωση : ${\left( {a - 8} \right)^2} + {\left( {b - 6} \right)^2} = {\left( {k - 5} \right)^2}\,\,\,\left( 2 \right)$

: Βασανιστική ισότητα.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Επειδή το

είναι δεξιότερα και πιο πάνω του

θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{4k}}{{k - 4}} > 8 \hfill \\ \frac{{3k}}{{k - 4}} > 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και προκύπτει ότι 4 < k < 8

δηλαδή τελικά $\boxed{5 < k < 8}\,\,\,\left( 3 \right)$ . Θέτω τις τιμές των $a\,\,,\,\,b$ στην $\left( 2 \right)$ και γίνεται :

${\left( {k - 5} \right)^2} = 16{\left( {\dfrac{{k - 8}}{{k - 4}}} \right)^2} + 9{\left( {\dfrac{{k - 8}}{{k - 4}}} \right)^2} = 25{\left( {\dfrac{{k - 8}}{{k - 4}}} \right)^2}$ . Άρα : $\left| {k - 5} \right| = 5\left| {\dfrac{{k - 8}}{{k - 4}}} \right|$ , λόγω δε των περιορισμών $\left( 3 \right)$ έχω :

$k - 5 = 5\dfrac{{8 - k}}{{k - 4}} \Leftrightarrow {k^2} - 4k - 20 = 0 \Rightarrow \boxed{{k_0} = 2\sqrt 6 + 2}$ . Γράφω το κύκλο $\left( {O,{k_0}} \right)$ και τέμνει την ημιευθεία

στο

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 28, 2022 8:37 pm
Βασανιστική ισότητα.pngΝα αχθεί ευθεία διερχόμενη από το σημείο , ώστε αν τέμνει τις

στα σημεία αντίστοιχα , να προκύπτει ότι : .

Κατασκευή ( Μαγεία Ευκλειδείου Γεωμετρίας)

1. Γράφω το κύκλο $\left( {O,A,B} \right)$ που η μεσοκάθετος του

τον τέμνει στο σταθερό σημείο

.

2. Με χορδή το σταθερό τμήμα SPe

και γωνία $\beta = 180^\circ - \widehat {AOPe}$ γράφω κύκλο $\left( K \right)$ .

3. Ο πιο πάνω κύκλος $\left( K \right)$ τέμνει την

στα σημεία $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{T_1}$ . Οι ευθείες $ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S{T_1}$ είναι αυτές που θέλω .

: Βασανιστική ισότητα_ok.png (18.86 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Η απόδειξη μένει σαν ( δύσκολη ) άσκηση .

Εννοείτε ότι όταν και αν μου ζητηθεί θα την ανεβάσω .

Βάζω και δυναμικό αρχείο στο οποίο μπορεί κάποιος να αλλάξει τα $B\,\,,S$ ή το αλλά να κινείται , μόνο επί του θετικού οριζοντίου ημιάξονα.

KARKAR · #4

Νίκο , να'σαι καλά !

: Βασανιστική ισότητα.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Μπορούμε να υπολογίσουμε κατ' ευθείαν το τμήμα

. Φέροντας τα παράλληλα τμήματα SC , SD

,

δημιουργούνται τα όμοια τρίγωνα TDS , SCP

. Είναι : $\dfrac{5+x}{4}=\dfrac{5}{1+x}\Leftrightarrow x=2\sqrt{6}-3$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 29, 2022 5:51 pm
Νίκο , να'σαι καλά !

Βασανιστική ισότητα.pngΜπορούμε να υπολογίσουμε κατ' ευθείαν το τμήμα . Φέροντας τα παράλληλα τμήματα ,

δημιουργούνται τα όμοια τρίγωνα . Είναι : $\dfrac{5+x}{4}=\dfrac{5}{1+x}\Leftrightarrow x=2\sqrt{6}-3$

Ευχαριστώ . Όσα ξέρει ο νοικοκύρης δεν τα ξέρει ο κόσμος όλος .

Βασανιστική ισότητα

Βασανιστική ισότητα

Re: Βασανιστική ισότητα

Re: Βασανιστική ισότητα

Re: Βασανιστική ισότητα

Re: Βασανιστική ισότητα

Μέλη σε σύνδεση