Σταθερό αλλά πόσο ;

KARKAR · #1

: Σταθερό αλλά πόσο ;.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC

έχει πλευρές : AB=AC=b , BC=a

. Στην βάση

, ολισθαίνει

τμήμα ST= k

, με : $\dfrac{a}{2}\leq k < a$ . Οι κάθετες στην

στα σημεία S , T

, δημιουργούν το ορθογώνιο

τραπέζιο SPQT

. Δείξτε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου παραμένει σταθερό και υπολογίστε το .

#2

Καλημέρα σε όλους.

: 21-10-2022 Γεωμετρία.jpg (21.2 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

Φέρνουμε το ύψος

, που ισούται με $\displaystyle \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}$ .

Από την ομοιότητα των ABD, PBS

και των

αντίστοιχα, έχουμε

$\displaystyle \left( {PS = BS \cdot \frac{{2\upsilon }}{a},\;\;QT = TC\frac{{2\upsilon }}{a}} \right) \Rightarrow PS + QT = \left( {BS + QT} \right)\frac{{2\upsilon }}{a} = \left( {a - k} \right)\frac{{2\upsilon }}{a}$

οπότε $\displaystyle \left( {PSTQ} \right) = \frac{{\left( {a - k} \right)k\upsilon }}{a} = \frac{{\left( {a - k} \right)k\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} }}{a}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 21, 2022 6:54 am Σταθερό αλλά πόσο ;.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο έχει πλευρές : . Στην βάση , ολισθαίνει

τμήμα , με : $\dfrac{a}{2}\leq k < a$ . Οι κάθετες στην στα σημεία , δημιουργούν το ορθογώνιο

τραπέζιο . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου παραμένει σταθερό και υπολογίστε το .

Το ύψος του $\vartriangle ABC$ από το

είναι : $h = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - {a^2}} \left( 1 \right)$ .

Αν $BS = \dfrac{{ax}}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TC = \dfrac{{ay}}{2} \Rightarrow PS = hx\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TQ = hy$

Το εμβαδόν του τραπεζίου PSTQ

είναι , $E = \dfrac{1}{2}\left( {hx + hy} \right)k = \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right)kh\,\,\left( 2 \right)$ .

: Σταθερό αλλά πόσο.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές

Αλλά , $\dfrac{{ax}}{2} + \dfrac{{ay}}{2} = a - k \Rightarrow \dfrac{1}{2}\left( {x + y} \right) = \dfrac{{a - k}}{a}\,\,\left( 3 \right)$ . Η $\left( 2 \right)$ λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ δίδει:

$\boxed{E = \frac{{k\left( {a - k} \right)\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2a}}}$

nickchalkida · #4

Διαισθητικά (χωρίς υπολογισμούς):
Όσο ανεβαίνει το

τόσο κατεβαίνει το

, όσο μεγαλώνει το

τόσο μικραίνει το

.
Δηλαδή

, αλλά και ST=ct

, άρα

$\displaystyle{ (SPQT) = {(SMNT) \over 2} = ct }$

Σταθερό αλλά πόσο ;

Σταθερό αλλά πόσο ;

Re: Σταθερό αλλά πόσο ;

Re: Σταθερό αλλά πόσο ;

Re: Σταθερό αλλά πόσο ;

Μέλη σε σύνδεση