Σταθερό εμβαδόν

KARKAR · #1

: Σταθερό εμβαδόν.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Μεταβλητός κύκλος διερχόμενος από την κορυφή

και το μέσο

της υποτείνουσας

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ABC

, τέμνει τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

στα σημεία S ,T

. Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ASMT

είναι σταθερό .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 21, 2022 10:40 am Σταθερό εμβαδόν.pngΜεταβλητός κύκλος διερχόμενος από την κορυφή και το μέσο της υποτείνουσας

του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου , τέμνει τις κάθετες πλευρές του τριγώνου

στα σημεία . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου είναι σταθερό .

$\displaystyle C\widehat MT = 90^\circ - B\widehat MS = S\widehat MA,M\widehat AS = M\widehat CT = 45^\circ ,AM = MC,$ άρα τα τρίγωνα MSA, MTC

είναι ίσα και AS=CT=x.

: Σταθερό εμβαδόν.ΚΑ.png (16.01 KiB) Προβλήθηκε 780 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} \frac{{(MSA)}}{{(MBA)}} = \frac{x}{b} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{(AMT)}}{{(AMC)}} = \frac{{b - x}}{b} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \frac{{(MSA) + (AMT)}}{{(ABC)/2}} = 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{ (ASMT) = \frac{{(ABC)}}{2}}$

#3

#4

Ας το δούμε κι αλλιώς: Το αποτέλεσμα είναι $\dfrac{1}{2}AM^2=\dfrac{1}{2}(ABC)$ .

Πράγματι, έστω

κάθετη στην

, και, έστω

κάθετη στην

με την

να επανατέμνει τον κύκλο στο

. Πραφανώς

$SD=AD,\,\,\, EF=EM,\,\,\,FS=ED$

Ακόμα TE=MD

, αφού από το θεώρημα της σπασμένης χορδής για το μέσο

του τόξου

είναι

Με τα παραπάνω έχουμε

$(ASMT)=(ASM)+(MTA)=\dfrac{1}{2}AM\cdot SD+\dfrac{1}{2}AM\cdot TE$

$= \dfrac{1}{2}AM (SD+TE )=\dfrac{1}{2}AM(AD+MD) =\dfrac{1}{2}AM^2$

#5

exdx έγραψε: Παρ Οκτ 21, 2022 12:26 pm $\displaystyle (ASMT) = {E_1} + E = (AKMG) = \frac{{(ABC)}}{2}$

Σταθερό εμβαδόν

Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Re: Σταθερό εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση