Η εξίσωση με τέχνασμα

Henri van Aubel · #1

Να λυθεί η εξίσωση :

$\displaystyle x-2021-\frac{x-2020}{2}+\frac{x-2019}{3}-\frac{x-2018}{4}+...+\frac{x-1}{2021}-\frac {x}{2022}=0$

kfd · #2

O όρος με περιττό αφαιρετέο έχει πρόσημο +. Ο τελευταίος;

Henri van Aubel · #3

Σωστά, είναι +. Έγινε τυπογραφικό, το διόρθωσα.

kfd · #4

Χωρίζω τους 2022 προσθετέους σε ζεύγη, 1ο με τελευταίο, 2ο με προτελευταίο κλπ. Δημιουργούνται έτσι 1011 εξισώσεις με κοινή ρίζα το 2022. Πχ
$x-2021-\frac{x}{2022}=x\left ( 1-\frac{1}{2022} \right )-2021=x\cdot \frac{2021}{2022}-2021.$
Έτσι ως πρωτοβάθμια έχει μοναδική ρίζα το 2022.

Henri van Aubel · #5

Ωραία! Λίγο αλλιώς...

Έχω:

$\displaystyle \left ( \frac{x}{1}-\frac{x}{2} \right )+\left ( \frac{x}{3}-\frac{x}{4} \right )+\left ( \frac{x}{5}-\frac{x}{6} \right )+...+\left ( \frac{x}{2021} -\frac{x}{2022}\right ) =x\cdot \left ( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4} +\frac{1}{5\cdot 6}+...+\frac{1}{2021\cdot 2022}\right )$

Επίσης:

$\displaystyle \left ( \frac{2021}{1}-\frac{2020}{2} \right )+\left ( \frac{2019}{3} -\frac{2018}{4}\right )+...+\left ( \frac{1}{2021}-\frac{1}{2022} \right )=2022\cdot \left ( \frac{1}{1\cdot 2} +\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+...+\frac{1}{2021\cdot 2022}\right )$

Άρα παίρνω:

$\displaystyle x\cdot \cancel{\left ( \frac{1}{1\cdot 2} +\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+...+\frac{1}{2021\cdot 2022}\right )}=2022\cdot \cancel{\left ( \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6}+...+\frac{1}{2021\cdot 2022} \right )}$

Απ' όπου x=2022

#6

Η εξίσωση έχει προφανή λύση την x=2022

. (Αφού για x=2022

έχουμε $1-1+1-1+\cdots+1-1=0$ .) Είναι επίσης γραμμική με θετικό συντελεστή του

άρα η

είναι μοναδική λύση.

stranger · #7

Demetres έγραψε: Κυρ Οκτ 30, 2022 11:36 pm Η εξίσωση έχει προφανή λύση την . (Αφού για έχουμε $1-1+1-1+\cdots+1-1=0$ .) Είναι επίσης γραμμική με θετικό συντελεστή του άρα η είναι μοναδική λύση.

Πολύ ωραία λύση!
Αντί να αρχίσεις τους υπολογισμούς χρησιμοποιείς ότι η εξίσωση είναι γραμμική.
Πολύ ωραία!

Η εξίσωση με τέχνασμα

Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Re: Η εξίσωση με τέχνασμα

Μέλη σε σύνδεση