εφαπτομένη παραβολής

math80 · #1

Έστω C μία παραβολή με εξίσωση C: y^2=2px

και η ευθεία $(\epsilon): y=ax+b$ . Αν 1) η ευθεία και η παραβολή έχουν μοναδικό κοινό σημείο , και 2) Η παραβολή βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο ένα από τα δύο ημιεπίπεδα που ορίζει η (ε) (με εξαίρεση το κοινό σημείο) τότε είναι σωστός ο ισχυρισμός ότι η (ε) είναι εφαπτόμενη της παραβολής;

KARKAR · #2

: Εφαπτομένη παραβολής.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 717 φορές

Δεν είναι απάντηση στο ερώτημα , έχει όμως ενδιαφέρον : Η δευτεροβάθμια εξίσωση : (ax+b)^2=2px

έχει διακρίνουσα : D=4p(p-2ab)

, η οποία δεδομένου ότι $p\neq 0$ , δίνει ότι D=0

, για $ab=\dfrac{p}{2}$ .

Αν λοιπόν p=2

, τότε οι συντελεστές a , b

είναι αριθμοί αντίστροφοι . Αναφύεται λοιπόν το ερώτημα :

Όλες οι ευθείες της μορφής : $y=ax+\dfrac{1}{a} , ( a\neq 0 )$ , εφάπτονται στην παραβολή : y^2=4x

;

math80 · #3

Αυτό είχα κατά νου . Αν όντως η (ε) ,με τις δύο υποθέσεις , είναι εφαπτομένη , τότε με λίγη απλή άλγεβρα , μπορούμε να εξάγουμε την $(\epsilon ) : yy_1=p(x+x_1)$ , χωρίς να χρησιμοποιήσουμε διαφορικό επιχείρημα (κίνηση σημείου), όπως κάνει το σχολικό βιβλίο. Στις δικές μου πράξεις απαίτησα το σημείο επαφής να μην είναι η αρχή των αξόνων και πήρα τα a , b

θετικά. Κατέληξα στη γνωστή εξίσωση βρίσκοντας $a=\cfrac{p}{y_1}$ και $b=\cfrac{y_1}{2}$ . Αντικατάσταση των τιμών αυτών στην (ε) και έχουμε (με λίγες απλές πράξεις) τη γνωστή εξίσωση εφαπτομένης.

Το αρχικό ερώτημα ήταν αν μπορούμε να παρουσιάσουμε την εφαπτομένη της παραβολής στην τάξη , εξάγοντας την εξίσωσή της χωρίς να χρησιμοποιήσουμε κινούμενα σημεία.

εφαπτομένη παραβολής

εφαπτομένη παραβολής

Re: εφαπτομένη παραβολής

Re: εφαπτομένη παραβολής

Μέλη σε σύνδεση