Και συνημίτονο έχω

KARKAR · #1

: Και συνημίτονο έχω.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Να κατασκευασθεί παραλληλόγραμμο ABCD

, με

και τέτοιο ώστε αν τα σημεία M , N

,

είναι τα μέσα των πλευρών CD , DA

αντίστοιχα και

η τομή των AM , CN

, τα σημεία A, S , C , B

να είναι ομοκυκλικά . Υπολογίστε και το $\cos B$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 05, 2022 11:47 am Και συνημίτονο έχω.pngΝα κατασκευασθεί παραλληλόγραμμο , με και τέτοιο ώστε αν τα σημεία ,

είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα και η τομή των , τα σημεία

να είναι ομοκυκλικά . Υπολογίστε και το $\cos B$ .

Η

τέμνει τον κύκλο στο

Θέτω

και ως

γνωστόν είναι $\displaystyle 2(A{B^2} + B{C^2}) = {x^2} + {y^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{{x^2} + {y^2} = 10{b^2}}$ (1)

: Και συνημίτονο έχω.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

Το

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ADC,

άρα η

διέρχεται από το

και είναι $DS=\dfrac{y}{3}.$

$\displaystyle DS \cdot DB = DA \cdot DT \Leftrightarrow \frac{{{y^2}}}{3} = b(b + d) \Leftrightarrow$ $\boxed{d = \frac{{{y^2} - 3{b^2}}}{{3b}}}$ (2)

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα BT=AC=x, CT=AB=2b

και εφαρμόζοντας το

θεώρημα του Πτολεμαίου είναι: $\displaystyle {x^2} + bd = 4{b^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} 3{x^2} + {y^2} = 15{b^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{AC = x = b\sqrt {\frac{5}{2}}}$

Κατασκευάζω λοιπόν το τρίγωνο ABC

αφού είναι γνωστές και οι τρεις πλευρές του και στη συνέχεια εύκολα

το παραλληλόγραμμο ABCD.

Τέλος, με νόμο συνημιτόνου στο ABC

βρίσκω $\boxed{ \cos \theta = \frac{5}{8}}$

Και συνημίτονο έχω

Και συνημίτονο έχω

Re: Και συνημίτονο έχω

Μέλη σε σύνδεση