Τμήματα λόγω ισότητας

KARKAR · #1

: Λόγω ισότητας.png (14.33 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Ο ρόμβος

έχει διαγωνίους : AC=6 , BD=8

. Στην πλευρά

θεωρούμε σημείο

,

ώστε : CS=CD

. Η ευθεία

και η παράλληλη από το

προς την

, τέμνονται στο

.

Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων

και

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 14, 2022 1:08 pm Λόγω ισότητας.pngΟ ρόμβος έχει διαγωνίους : . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Η ευθεία και η παράλληλη από το προς την , τέμνονται στο .

Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων και .

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα $\boxed{BS=AC=6}$ και προφανώς όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με $\omega.$

Επειδή όμως SC||DT,

θα είναι $\displaystyle \omega = \varphi \Leftrightarrow DT = DS$

: Τμήματα λόγω ισότητας.png (17.85 KiB) Προβλήθηκε 926 φορές

$\displaystyle C\widehat DA = \theta = 180^\circ - 2\omega \Leftrightarrow \cos \theta = - \cos 2\omega = 1 - 2{\cos ^2}\omega = \frac{7}{{25}}$

Αλλά, $\displaystyle \cos \theta = \frac{{DS}}{{2DC}} \Leftrightarrow$ $\boxed{DS=\frac{14}{5}=DT}$

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 14, 2022 1:08 pm Λόγω ισότητας.pngΟ ρόμβος έχει διαγωνίους : . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Η ευθεία και η παράλληλη από το προς την , τέμνονται στο .

Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων και .

Το τετράπλευρο ABCS

είναι ισοσκελές τραπέζιο και μάλιστα υπερισοσκελές.

Το εμβαδόν του ρόμβου είναι : $\dfrac{{6 \cdot 8}}{2} = 24$ άρα το ύψος h = CN

του ρόμβου είναι : $h = \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow DN = NS = \sqrt {25 - \dfrac{{{{24}^2}}}{{{5^2}}}} = \dfrac{7}{5}$

: Τμήματα λόγω ισότητας.png (29.08 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Όμως αβίαστα προκύπτει ότι τα τρίγωνα $FBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DTS$ ισογώνια άρα και το DTS

είναι ισοσκελές οπότε : $\boxed{DT = \frac{{14}}{5}}$ ενώ προφανώς , $\boxed{BS = AC = 6}$

Παρατήρηση. Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αλλά δεν το χρειάστηκα .

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 14, 2022 1:08 pm Λόγω ισότητας.pngΟ ρόμβος έχει διαγωνίους : . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Η ευθεία και η παράλληλη από το προς την , τέμνονται στο .

Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων και .

Το τετράπλευρο BCSA

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε $\boxed{BS = AC = 6}$

Διαδοχικά: $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ λόγω παραλληλίας των $CS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ . $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ το ισοσκελές τραπέζιο είναι και εγγράψιμο.

: Τμήματα λόγω ισότητας_new.png (25.88 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Αλλά οι γωνίες στη βάση ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες , επομένως : $\widehat {{a_6}} = \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}$

και άρα , $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_5}}}$ με άμεση συνέπεια: DE = DT = y

. Ας είναι και AS = x

.

Από το Θ. Πτολεμαίου στο ισοσκελές τραπέζιο έχω: $\boxed{5x + 25 = 36 \Rightarrow x = \frac{{11}}{5} \Rightarrow y = 5 - \frac{{11}}{5} = \frac{{14}}{5}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Νοέμ 14, 2022 1:08 pm Λόγω ισότητας.pngΟ ρόμβος έχει διαγωνίους : . Στην πλευρά θεωρούμε σημείο ,

ώστε : . Η ευθεία και η παράλληλη από το προς την , τέμνονται στο .

Υπολογίστε τα μήκη των τμημάτων και .

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε BS=AC=6

και η

διχοτομεί την $\angle ASC$

Επειδή CS//DT

η ισότητα των γωνιών $\theta$ είναι προφανής κι αφού $\theta + \phi =90^0$ η

είναι διάμετρος του κύκλου (A,S,C,B)

Ισχύει $AE^2=BE.EN \Rightarrow 9=4BN \Rightarrow BN= \dfrac{9}{4} \Rightarrow ND= \dfrac{7}{4}$ και

$DS.DA=DN.DB\Rightarrow DS.5 = \dfrac{7}{4} .8 \Rightarrow DS=DT= \dfrac{14}{5}$

: Τμήματα λόγω ισότητας.png (33.74 KiB) Προβλήθηκε 835 φορές

angvl · #6

: λόγω ισότητας2.png (148.11 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

ρόμβος και έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

.

a)
Τότε $AD =//CP \Rightarrow ADPC$ παρ/μο $\Rightarrow DP = AC = 6$ .

Είναι $BC = CP, CS = CD , \angle PCD = \angle SCB = 2x \Rightarrow \triangle SCB = \triangle DCP \Rightarrow BS = DP = 6$

b)
$CS//TD \Rightarrow \angle STD = \angle BSC = 90-x = \angle DST \Rightarrow TD = SD$ και από Πτολεμαίο στο ισοσκελές τραπέζιο SDPB

$(BD)(SP) = (SD)(BP) + (BS)(DP) \Rightarrow SD = \dfrac{14}{5}$

Τμήματα λόγω ισότητας

Τμήματα λόγω ισότητας

Re: Τμήματα λόγω ισότητας

Re: Τμήματα λόγω ισότητας

Re: Τμήματα λόγω ισότητας

Re: Τμήματα λόγω ισότητας

Re: Τμήματα λόγω ισότητας

Μέλη σε σύνδεση