Ισότητα από ταυτότητα

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι $\displaystyle{(3a-4a^3)^2 + (3b-4b^3)^2=1}$ όταν a^2 + b^2 = 1

.

Δεν είμαι σίγουρος για την εκφώνηση . Δόθηκε σε σχολείο !

Henri van Aubel · #2

Γειά σου Τόλη!!

Πολύ καλή άσκηση!

$\left ( 3a-4a^{3} \right )^{2}+\left ( 3b-4b^{3} \right )^{2}=9a^{2}+16a^{6}-24a^{4}+9b^{2}+16b^{6}-24b^{4}$

$=9\left ( a^{2}+b^{2} \right )+16\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right )-24\left ( a^{4}+b^{4} \right )$

$=9+16\left ( a^{4}-a^{2} b^{2}+b^{4}\right )-24\left ( a^{4}+b^{4} \right )$

$=9+16a^{4}-16a^{2}b^{2}+16b^{4}-24a^{4}-24b^{4}$

$=9-8a^{4}-8b^{4}-16a^{2}b^{2}$

$=9-8\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}=9-8\cdot 1^{2}=1$

Al.Koutsouridis · #3

Για το Λύκειο θα ήταν απλή εφαρμογή του τύπου για το ημίτονο τριπλάσιας γωνίας.

#4

Αλλιώς.

$\displaystyle {(3a - 4{a^3})^2} + {(3b - 4{b^3})^2} = {a^2}{(3 - 4{a^2})^2} + {b^2}{(3 - 4{b^2})^2}$

$\displaystyle = {a^2}{(3 - 4{a^2})^2} + (1 - {a^2}){(4{a^2} - 1)^2} = {a^2}\left[ {{{(3 - 4{a^2})}^2} - {{(4{a^2} - 1)}^2}} \right] + {(4{a^2} - 1)^2}$

$\displaystyle = 2{a^2}(4 - 8{a^2}) + 16{a^4} - 8{a^2} + 1 = 1$

Tolaso J Kos · #5

Γιώργο,

αυτή είναι μία άσκηση που ενδείκνυεται για Γ' Γυμνασίου. Αλλά γενικά τέτοια άσκηση δεν έπρεπε να δοθεί .

Henri van Aubel έγραψε: Δευ Νοέμ 21, 2022 5:08 pm Γειά σου Τόλη!! Πολύ καλή άσκηση!

$\left ( 3a-4a^{3} \right )^{2}+\left ( 3b-4b^{3} \right )^{2}=9a^{2}+16a^{6}-24a^{4}+9b^{2}+16b^{6}-24b^{4}$

$=9\left ( a^{2}+b^{2} \right )+16\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}\right )-24\left ( a^{4}+b^{4} \right )$

Έφτασα και γω μέχρι εδώ αλλά επειδή είμαστε στη Γ' Γυμνασίου δε πήγε το μυαλό μου στο a^3+b^3

. Ωραία λύση πάντως.

Υ.Σ: Ο καθηγητής δίδαξε στη τάξη τη ταυτότητα $a^3 + b^3 = \left( a + b \right)^3 - 3ab(a+b)$ και σαν εφαρμογή αυτής έδωσε την άσκηση.

Henri van Aubel · #6

Τολη σε ευχαριστώ για το σχόλιο που έκανες για τη λύση μου. Μόνο που δεν με λένε Γιώργο, αλλά Κώστα.

Tolaso J Kos · #7

Χεχε μόνο που πιο πάνω έχει σχολιάσει ο Γιώργος ο Βισβικης ... το πρώτο σχόλιο πήγαινε σε αυτόν το δεύτερο όντως πήγαινε σε σενα !!!

#8

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Νοέμ 21, 2022 4:45 pm Να δειχθεί ότι $\displaystyle{(3a-4a^3)^2 + (3b-4b^3)^2=1}$ όταν .

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Νοέμ 21, 2022 5:25 pm Για το Λύκειο θα ήταν απλή εφαρμογή του τύπου για το ημίτονο τριπλάσιας γωνίας.

Θαυμάσιο.

Ας δούμε και άλλον ένα ανορθόδοξο τρόπο. Όχι ότι θα το λύναμε έτσι, αλλά λέμε τώρα:

Γράφοντας a^2=A

, οπότε

, έχουμε

$\displaystyle{(3a-4a^3)^2 + (3b-4b^3)^2= a^2(3-4a^2)^2+b^2(3-4b^2)^2 = A(3-4A)^2+(1-A)(4A-1)^2$

Το δεξί μέλος είναι πολυώνυμο το πολύ τρίτου βαθμού. Ας το πούμε

.

Έχομε p(0)= 0+(-1)^2=1

, και

και επίσης p(-1)=-(-7)^2+2(-5)^2=1

και

. Δηλαδή το

παίρνει τέσσερις φορές την τιμή

. Συνεπώς είναι ταυτοτικά ίσο με το

, όπως θέλαμε.

Edit: Συμπλήρωσα τα κόκκινα. Χρειάζονται τέσσερις τιμές ίσες με

(όχι τρεις που είχα αρχικά) για να πούμε ότι το τριτοβάθμιο είναι ταυτοτικά

.

Tolaso J Kos · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Νοέμ 21, 2022 8:51 pm Θαυμάσιο.

Ας δούμε και άλλον ένα ανορθόδοξο τρόπο. Όχι ότι θα το λύναμε έτσι, αλλά λέμε τώρα:

Γράφοντας , οπότε , έχουμε

$\displaystyle{(3a-4a^3)^2 + (3b-4b^3)^2= a^2(3-4a^2)^2+b^2(3-4b^2)^2 = A(3-4A)^2+(1-A)(4A-1)^2$

Το δεξί μέλος είναι πολυώνυμο το πολύ τρίτου βαθμού. Ας το πούμε .

Έχομε , και και επίσης . Δηλαδή το παίρνει τρεις φορές την τιμή . Συνεπώς είναι ταυτοτικά ίσο με το , όπως θέλαμε.

#10

Κι αλλιώς, τυπικά, με ευθεία απόδειξη. Θα ήθελα πολύ να είχα μαθητές στα τμήματά μου της Γ΄ Γυμνασίου που να είχαν την υπομονή και την επιμονή να τη λύσουν με οποιονδήποτε τρόπο...

$\displaystyle {(3a - 4{a^3})^2} + {(3b - 4{b^3})^2} = {a^2}{\left( {3 - 4{a^2}} \right)^2} + {b^2}{\left( {3 - 4{b^2}} \right)^2}$

$\displaystyle = {a^2}{\left( {3{b^2} - {a^2}} \right)^2} + {b^2}{\left( {3{a^2} - {b^2}} \right)^2}$

$\displaystyle = 9{a^2}{b^4} - 6{a^4}{b^2} + {a^6} + 9{a^4}{b^2} - 6{a^2}{b^4} + {b^6}$

$\displaystyle = 9{a^2}{b^2}\left( {{b^2} + {a^2}} \right) - 6{a^2}{b^2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + {a^6} + {b^6}$

$\displaystyle = {a^6} + {b^6} + 3{a^2}{b^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{a^4} - {a^2}{b^2} + {b^4}} \right) + 3{a^2}{b^2}$

$\displaystyle = {a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = 1$ .

#11

Νομίζω ότι είναι θέμα που είχε τεθεί πολύ παλιά σε Στρατιωτική Σχολή (Ικάρων, αν θυμάμαι καλά)

#12

Ας δούμε ακόμη μία προσέγγιση έτσι για ποικιλία.

Θέτω x = b^2-a^2

και

. Τότε

.

Επίσης ax+by = ab^2-a^3 + 2ab^2 = 3ab^2 - a^3 = 3a(1-a^2) - a^3 = 3a - 4a^3

και ομοίως

ay-bx = 2a^2b - b^3 + a^2b = 3a^2b-b^3 = 3b-4b^3

.

Τότε

$\displaystyle (3a-4a^3)^2 + (3b-4b^3)^2 = (ax+by)^2 + (ay-bx)^2 = (a^2+b^2)(x^2+y^2) = 1$

Ισότητα από ταυτότητα

Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Re: Ισότητα από ταυτότητα

Μέλη σε σύνδεση