Δύσκολο θέμα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλησπέρα (καλημέρα) σε όλους.

Φτιάχνοντας ένα τέταρτο (δύσκολο) θέμα για ένα διαγώνισμα, στηριζόμενος σε μια ιδέα μου από ένα ερώτημα σωστού λάθους σε σχέση με τα άκρα ενός ορισμένου ολοκληρώματος, και συνθέτοντας δυο γνωστές μου ασκήσεις γεννήθηκε το ακόλουθο, (δύσκολο) θέμα.
Ας το δούμε λοιπόν, μιας και περιέχει ενδιαφέροντα θεωρητικά αλλά και τεχνικά στοιχεία.

Στο περασμένο της ώρας και στη κούραση να αποδώσετε ότι δεν το γράφω σε Latex αλλά το παρουσιάζω σε pdf και σε png αρχείο.
Να είστε καλά,
Θ.Ρ

papel · #2

Δεν συμμεριζομαι την διαπιστωση του κ.Θωμα οτι ειναι δυσκολο το θεμα αυτο αλλα ας δουμε τι εχουμε :

α)Θετω g(x)=f(x)-cosx/x και f(x)=x*g(x)+cosx και ευκολα βγαινει f(0)=1 και f ' (0)=2
b)
1)Εαν θεωρησω α=0 και F(x) αρχικη της f καταληγω F(g(x))=F(2^x-2x) και συνεπως g(x)=2^x-2x=0 με λυσεις 1,2
2)Τυπικο

c) 1) Εξισωση εφ y-f(2)=f'(2)(x-2) θετω χ=2 στην δοσμενη f(2)-f(0)=e^0=1 αρα f(2)=2 και παραγωγιζοντας
f ' (2)-f ' (0)=1 και αρα f ' (2)=3.
2)Για το ολοκληρωμα κανω αλλαγη μεταβλητης t=x-2 και χρησιμοποιω την f(x)-f(x-2)=e^(x-2)

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #3

papel έγραψε:Δεν συμμεριζομαι την διαπιστωση του κ.Θωμα οτι ειναι δυσκολο το θεμα αυτο αλλα ας δουμε τι εχουμε :

b)
1)Εαν θεωρησω α=0 και F(x) αρχικη της f καταληγω F(g(x))=F(2^x-2x) και συνεπως g(x)=2^x-2x=0 με λυσεις 1,2

Καλημέρα, φίλε papel,
να παρατηρήσω ότι δεν γνωρίζουμε ότι η αρχική F είναι 1-1 για να βγεί το συμπέρασμα ότι g(x)=2^x-2x.

Βέβαια επειδή $\displaystyle{F'(x) = f(x)}$ και η f ως συνεχής και μη μηδενιζόμενη διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε ....

Να σχολιάσω ότι όταν λέω δύσκολο θέμα, αναφέρομαι στους μαθητές και μόνο στους μαθητές.
Δεν θεωρείς ότι η αλλάγή μεταβλητής και όλα τα άλλα καλούδια θα φέρουν μεγάλη δυσκολία σε έναν υποψήφιο;

Να είσαι καλά
Θωμάς

mathxl · #4

Για το σχόλιο του φίλου μου Θωμά και δάσκαλου
έχουμε ότι η f είναι συνεχής με τιμή στο 0 θετική άρα είναι θετική σε όλο το R, οπότε η F είναι γνησίως αύξουσα

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

mathxl έγραψε:Για το σχόλιο του φίλου μου Θωμά και δάσκαλου
έχουμε ότι η f είναι συνεχής με τιμή στο 0 θετική άρα είναι θετική σε όλο το R, οπότε η F είναι γνησίως αύξουσα

Βασίλη στο μήνυμά μου αυτό ακριβώς έγραψα (συμπλήρωσα).
Τη καλημέρα μου,
Θ.Ρ

Ιστοσελίδα · #6

Ωραίο το θεματάκι Θωμά.
Έψαχνα να βρω μήπως και μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν από 0-1 μεταξύ της εφαπτομένης που βρήκαμε και της C_f και νομίζω ότι γίνεται...
Το ποστάρω το απόγευμα...

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #7

Για την εύρεση της f΄(2) :
$\displaystyle{ \begin{array}{l} \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = \mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{f(x - 2) + e^{x - 2} - f(2)}}{{x - 2}}\mathop = \limits^{y = x - 2} \mathop {lim}\limits_{y \to 0} \frac{{f(y) + e^y - f(2)}}{y} = \mathop {lim}\limits_{y \to 0} \frac{{f(y) + e^y - f(0) - 1}}{y} = \\ = \mathop {lim}\limits_{y \to 0} \left( {\frac{{f(y) - f(0)}}{y} + \frac{{e^y - 1}}{y}} \right) = f'(0) + 1 = 3 \\ \end{array} }$

APO · #8

Πολύ ωραίο θέμα, συγχαρητήρια
Μια παρατήρηση για τον papel :η f δεν δίνεται ότι είναι παραγωγίσιμη
Τα μαθηματικά (όσο απλά και αν μας φαίνονται) πρέπει να τα προσεγγίζουμε με
"σεβασμό"

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #9

Καλημέρα σε όλους.
Αφού σας ευχαριστήσω όλους για τις απαντήσεις σας, να δώσω και μια άλλη αντιμετώπιση του Β ερωτήματος.

$\begin{gathered} \int_\alpha ^{g(x)} {f(t)dt} = \int_\alpha ^{{2^x} - 2x} {f(t)dt} \Rightarrow \hfill \\ \int_\alpha ^{g(x)} {f(t)dt} = \int_\alpha ^{g(x)} {f(t)dt} + \int_{g(x)}^{{2^x} - 2x} {f(t)dt} \Rightarrow \hfill \\ \int_{g(x)}^{{2^x} - 2x} {f(t)dt} = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

και επειδή η f(χ)>0 για κάθε x είναι τελικά $g(x) = {2^x} - 2x$
Θωμάς

Kercyn · #10

Για το πρώτο ερώτημα:

Εφ' όσον η f είναι συνεχής τότε ισχύει

\lim_{x \to 0}f(x)=f(0)

Αφού το αποτέλεσμα του ορίου είναι πραγματικός αριθμός και το όριο του παρονομαστή είναι 0, αυτό σημαίνει ότι και το όριο το αριθμητή θα είναι 0 (οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα θα έδινε

\pm \infty ).

Οπότε έχουμε:

f(0) - cos0 = 0
\Leftrightarrow f(0) = 1$

Ιστοσελίδα · #11

Kercyn έγραψε:Για το πρώτο ερώτημα:

Εφ' όσον η f είναι συνεχής τότε ισχύει
\lim_{x \to 0}f(x)=f(0) $Αφού το αποτέλεσμα του ορίου είναι πραγματικός αριθμός και το όριο του παρονομαστή είναι 0, αυτό σημαίνει ότι και το όριο το αριθμητή θα είναι 0 (οποιοδήποτε άλλο αποτέλεσμα θα έδινε$ \pm \inftyf(0) - cos0 = 0
\Leftrightarrow f(0) = 1$

Γιατί υπάρχει το όριο του αριθμητή;

Kercyn · #12

Γιατί η f είναι συνεχής.

Δύσκολο θέμα

Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Re: Δύσκολο θέμα

Μέλη σε σύνδεση