5Γ-Ανάλυση

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε τη συνάρτηση:
$\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\eta \mu x}}{x},{\rm{ }}0 < x \le \frac{\pi }{2} \\ 1,{\rm{ }}x = 0 \\ \end{array} \right.}$
Nα αποδείξετε ότι η συνάρτηση αυτή είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]}$ . Μετά, να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό α>0, ισχύει:
$\displaystyle{\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{ - \alpha \eta \mu x}}dx} \le \frac{\pi }{{2\alpha }}\left( {1 - \frac{1}{{{e^\alpha }}}} \right)}$ .

#2

Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f(x

) είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ και επειδή $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1=f(0)$ και $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin{x}-x}{x^2}=0\in\mathbb{R}$ άρα η συνάρτηση f(x)

είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $\displaystyle\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Για $x\neq 0$ έχουμε $f'(x)=\displaystyle\frac{x\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$ . Ορίζουμε τη συνάρτηση $g(x)=x\cos{x}-\sin{x}$ ορισμένη στο διάστημα $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό και ισχύει $g'(x)=-x\sin{x} < 0$ στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ . Άρα η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ με g(x) < g(0)=0

για κάθε

στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Συνεπώς f'(x)<0

για κάθε

στο $\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$ δηλαδή η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ .

Από το παραπάνω συμπέρασμα παίρνουμε ότι $f(x)\geq f\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$ για $x\in\displaystyle\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ δηλαδή

$a\sin{x}\geq \displaystyle\frac{2ax}{\pi}$ οπότε $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^{-a\sin{x}} dx \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^{\frac{-2ax}{\pi}}dx = \left[\frac{e^{\frac{-2ax}{\pi}}}{\frac{-2a}{\pi}}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2a}\left(1-\frac{1}{e^a}\right)$ που είναι το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

5Γ-Ανάλυση

5Γ-Ανάλυση

Re: 5Γ-Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση