Μοναδικό τέλειο τετράγωνο

#1

Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός φυσικός αριθμός, ο οποίος όταν αφαιρεθεί από τους όρους του κλάσματος $\displaystyle{\frac{13}{22}}$ ,

θα προκύψει ακέραιος που να είναι τέλειο τετράγωνο με βάση θετικό ακέραιο.

Henri van Aubel · #2

Για κάποιον φυσικό

έχουμε το εξής:

$\displaystyle \frac{13-n}{22-n}\in \mathbb{Z}\Longrightarrow \frac{9}{22-n}\in \mathbb{Z}$

Για n< 22

είναι $\displaystyle \frac{9}{22-n}> 0$

Συνεπώς τότε θα πρέπει $n\in \left \{ 13,19,21 \right \}$ . Άρα δεν μας κάνει, γιατί το εν λόγω (αυτό που δίνεται στην εκφώνηση) κλάσμα πρέπει να είναι θετικός ακέραιος!

Συνεπώς έχουμε n> 22

και άρα $\displaystyle \frac{9}{22-n}< 0$

Άρα θα πρέπει $n\in \left \{ 23,25,31 \right \}$ . Επομένως έχουμε:

$\displaystyle \frac{13-n}{22-n}\in \left \{ 2,4,10 \right \}$

Άρα μας κάνει μόνο η τιμή n=25,

για την οποία ισχύει ότι το κλάσμα ισούται με

και άρα είναι τέλειο τετράγωνο θετικού ακεραίου

Οπότε πράγματι έχουμε μοναδική λύση και μάλιστα το

#3

Γράφω πιο αναλυτικά την λύση:

Έστω $\displaystyle{k}$ ο ζητούμενος ακέραιος. Θέλουμε $\displaystyle{\frac{13+k}{22+k}=m^2}$ , όπου $\displaystyle{m}$ θετικός ακέραιος.

Άρα $\displaystyle{13+k = 22m^2 +km^2 }$ , δηλαδή $\displaystyle{km^2 -k = 13-22m^2}$ και άρα $\displaystyle{(m^2 -1).k = 13-22m^2}$ . (1)

Αν είναι $\displaystyle{m^2 -1 =0}$ , βλέπουμε ότι η εξίσωση (1) είναι αδύνατη. Με $\displaystyle{m^2 -1\neq 0}$ , η (1) γράφεται:

$\displaystyle{k=\frac{13-22m^2}{m^2 -1} = - \frac{22m^2 -13}{m^2 -1} = - \frac{22m^2 -22+22-13}{m^2 -1} = - \frac{22(m^2 -1)+9}{m^2 -1}=}$

$\displaystyle{=-22 - \frac{9}{m^2 -1}}$

Για να είναι ο $\displaystyle{k}$ ακέραιος, πρέπει ο αριθμός $\displaystyle{m^2 -1}$ να είναι διαιρέτης του $\displaystyle{9}$

Άρα πρέπει $\displaystyle{m^2 -1 =-1}$ , ή $\displaystyle{m^2 -1 =1}$ , , ή $\displaystyle{m^2 -1 = -3}$ , ή $\displaystyle{m^2 -1 =3}$ , ή $\displaystyle{m^2 -1 =-9}$ , ή $\displaystyle{m^2 -1 =9}$

Δηλαδή , (με δεδομένο ότι ο $\displaystyle{m}$ είναι θετικός ακέραιος), από τις πιο πάνω εξισώσεις, δεκτή είναι μόνο η $\displaystyle{m^2 =4}$ , από την οποία προκύπτει

$\displaystyle{m = 2}$ και από την (1) έχουμε $\displaystyle{3k =13-88\Rightarrow 3k=-75 \Rightarrow k=-25}$ .

Μοναδικό τέλειο τετράγωνο

Μοναδικό τέλειο τετράγωνο

Re: Μοναδικό τέλειο τετράγωνο

Re: Μοναδικό τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση