Όριο συνάρτησης επί δύναμη του x

#1

Έστω

φυσικός αριθμός και έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

α) το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} x^{n}f(x)}$ υπάρχει, και είναι ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός

, και

β) το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} x^{n+1}f'(x)}$ υπάρχει, και είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Να βρεθεί η τιμή του ορίου στο β).

#2

Έστω $\displaystyle L = \lim_{n \to \infty} x^nf(x)$ και $\displaystyle M =\lim_{n \to \infty} x^{n+1}f'(x)$

Ορίζω τη συνάρτηση $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με τύπο $g(x) = x^{n+1}f(x)$ η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Παίρνω $x \in \mathbb{R}$ και εφαρμόζω το Θεώρημα Μέσης Τιμής στο [x,2x]

για να βρω $\xi = \xi_x\in (x,2x)$ ώστε

$\displaystyle \frac{g(2x)-g(x)}{2x-x} = g'(\xi) = \xi^{n+1}f'(\xi) + (n+1)\xi^nf(\xi)$

Έχουμε

$\displaystyle \frac{g(2x)-g(x)}{2x-x} = \frac{(2x)^{n+1}f(2x) - x^{n+1}f(x)}{x} = 2(2x)^nf(2x) - x^nf(x) \to 2L - L = L$ όταν $x \to \infty$ .

Επίσης $\xi_x \to \infty$ και επειδή γνωρίζουμε ότι τα δύο όρια υπάρχουν, τότε

$\displaystyle \xi^{n+1}f'(\xi) + (n+1)\xi^nf(\xi) \to M + (n+1)L.$

Καταλήγουμε στο M = -nL

.

Ας σημειώσουμε ότι είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την ύπαρξη του δεύτερου ορίου. Πιο πάνω ουσιαστικά δείξαμε ότι

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \xi_x^{n+1}f'(\xi_x) = M$

αλλά αυτό δεν είναι αρκετό για να συμπεράνουμε ότι

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{n+1}f'(x) = M$

χωρίς να γνωρίζουμε την ύπαρξη του ορίου. Το $\xi_x$ παίρνει τιμές που εξαρτώνται από το

και μπορεί να μην παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές. Π.χ. το $\sin(pi\xi_x)$ τείνει στο

όταν το $\xi_x$ τείνει στο άπειρο παίρνοντας ακέραιες τιμές, αλλά τείνει στο

όταν το $\xi_x$ τείνει στο άπειρο παίρνοντας τιμές της μορφής (4m+1)/2

με

ακέραιο.

abgd · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Δεκ 11, 2022 8:28 pm Έστω φυσικός αριθμός και έστω $f:\mathbb R \longrightarrow \mathbb R$ παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια ώστε

α) το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} x^{n}f(x)}$ υπάρχει, και είναι ένας μη μηδενικός πραγματικός αριθμός , και

β) το όριο $\displaystyle{\lim_{x\to \infty} x^{n+1}f'(x)}$ υπάρχει, και είναι ένας πραγματικός αριθμός.

Να βρεθεί η τιμή του ορίου στο β).

Διαφορετικά, με τη βοήθεια του κανόνα De l Hospital....

Είναι: $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\left(x^{n+1}f^{\prime}(x)+(n+1)x^nf(x)\right)}=M+(n+1)L}$ .

Ακόμη $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}{\left(x^{n+1}f(x)=L\cdot(+\infty)=\pm \infty}$ .
_
Έτσι θα ισχύει: $\displaystyle{L= \lim_{x\to+\infty}{x^nf(x)}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{n+1}f(x)}{x}}=\lim_{x\to +\infty}{\left(x^{n+1}f^{\prime}(x)+(n+1)x^nf(x)\right)}=M+(n+1)L$ .

Άρα $\displaystyle{\bf{M=-nL}}$

Όριο συνάρτησης επί δύναμη του x

Όριο συνάρτησης επί δύναμη του x

Re: Όριο συνάρτησης επί δύναμη του x

Re: Όριο συνάρτησης επί δύναμη του x

Μέλη σε σύνδεση