Ρητό μήκος

KARKAR · #1

: Ρητός και κατηγορηματική.png (7.92 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

Στα άκρα τμήματος

, με μέσο

, φέρω στο ίδιο ημιεπίπεδο τις κάθετες προς το τμήμα ημιευθείες

και

.

Επί της

, θεωρώ σημείο

, φέρω την

και εντοπίζω σημείο

της

, ώστε : $\widehat{MST}=\widehat{MSA}=\theta$ .

Δείξτε ότι αν ο a^2

είναι ρητός και το μήκος του AS (=d)

, είναι ρητό , ρητό θα είναι και το μήκος του

.

Διόρθωση : Προστέθηκε το έγχρωμο κείμενο .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 8:30 pm Ρητός και κατηγορηματική.pngΣτα άκρα τμήματος , με μέσο , φέρω στο ίδιο ημιεπίπεδο τις κάθετες προς το τμήμα ημιευθείες και .

Επί της , θεωρώ σημείο , φέρω την και εντοπίζω σημείο της , ώστε : $\widehat{MST}=\widehat{MSA}=\theta$ .

Δείξτε ότι αν το μήκος του , είναι ρητό , ρητό θα είναι και το μήκος του .

Kάτι δεν πάει καλά με την άσκηση αλλά αφού η ουσία της είναι τα βρούμε την

, ας μείνουμε αρχικά σε αυτό.

Προεκτείνουμε την

ώστε να τμήσει την προέκταση της

στο

. Aπό τα ίσα ορθογώνια τρίγωνα $MBT,\, MAP$ (άμεσο) έχουμε PM=MT

.
Άρα στο τρίγωνο SPT

η

είναι διάμεσος και διχοτόμος. Έπεται ότι ST=SP

.

Από το ορθογώνιο τρίγωνο SMP

έχουμε $SM^2=SA\cdot SP$ ή αλλιώς $d^2+a^2=d\cdot SP$ , όπου a=AM=MB

. Άρα $ST=SP= d+ \dfrac {a^2}{d}$

Σχόλιο: Έστω

ρητό αλλά

άρρητο. Από το προηγούμενο έχουμε ότι $ST= d+ \dfrac {a^2}{d}=$ άρρητο, αντίθετα από το αποδεικτέο. Κάποια μικρή διόρθωαη στην εκφώνηση είναι απαραίτητη. Μία τέτοια είναι να λάβουμε $d,\, a$ και τα δύο ρητά.

#3

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 8:30 pm Ρητός και κατηγορηματική.pngΣτα άκρα τμήματος , με μέσο , φέρω στο ίδιο ημιεπίπεδο τις κάθετες προς το τμήμα ημιευθείες και .

Επί της , θεωρώ σημείο , φέρω την και εντοπίζω σημείο της , ώστε : $\widehat{MST}=\widehat{MSA}=\theta$ .

Δείξτε ότι αν το μήκος του , είναι ρητό , ρητό θα είναι και το μήκος του .

Για τον εντοπισμό του

. Φέρνω από το

εφαπτομένη στο ημικύκλιο διαμέτρου

.

Οι $MS\,\,,\,\,MT$ ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους ,

: Ρητό μήκος.png (15.67 KiB) Προβλήθηκε 565 φορές

$\boxed{\vartriangle AMS \approx \vartriangle MTS \Rightarrow \frac{{MS}}{{TS}} = \frac{{AS}}{{MS}} \Rightarrow TS = \frac{{M{S^2}}}{d}}$ , Αν $M{S^2}$ είναι ρητός , έχει καλώς.

Αυτό αναγκάζει το τετράγωνο της ακτίνας του ημικυκλίου να είναι ρητός.

Άρα η ακτίνα του ημικυκλίου πρέπει να είναι ρητός ή τετραγωνική ρίζα ρητού .

Παρατήρηση

Τα ίδια περίπου με τον Κ. Λάμπρου . Αλλά δεν είχα διαβάσει την ανάρτησή του όταν τα έγραψα.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 20, 2022 8:30 pm Ρητός και κατηγορηματική.pngΣτα άκρα τμήματος , με μέσο , φέρω στο ίδιο ημιεπίπεδο τις κάθετες προς το τμήμα ημιευθείες και .

Επί της , θεωρώ σημείο , φέρω την και εντοπίζω σημείο της , ώστε : $\widehat{MST}=\widehat{MSA}=\theta$ .

Δείξτε ότι αν ο είναι ρητός και το μήκος του , είναι ρητό , ρητό θα είναι και το μήκος του .

Διόρθωση : Προστέθηκε το έγχρωμο κείμενο .

Για τις γωνίες είναι

$\hat{ASM}=\hat{MSD}=\theta =\hat{BDT}=\hat{DBT},$

και

$SM\perp AD ,AS=SD,DB\perp AN$ , AM=MB=a,DT=TN=TB=x,

Από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο $ABN,\dfrac{AD}{ND}=\dfrac{a^{2}}{x^{2}},(*),$

και από τα όμοια τρίγωνα

$DNT,ASD,\dfrac{x}{d}=\dfrac{DN}{AD},(**), (*),(**)\Rightarrow x=\dfrac{a^{2}}{d},ST=d+\dfrac{a^{2}}{d}$

Μόλις τώρα είδα τη διόρθωση του Θανάση .................είναι απλό η απάντηση απο την τελευταία σχέση

Ρητό μήκος

Ρητό μήκος

Re: Ρητό μήκος

Re: Ρητό μήκος

Re: Ρητό μήκος

Μέλη σε σύνδεση