Ενδιαφέρουσα Άσκηση

despondency · #1

Καλησπέρα, μια άσκηση που θεωρώ έχει ένα ενδιαφέρον:

Έστω πολυώνυμο f(x)

, 5ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και με ρίζες (αν έχει) πραγματικές και άνισες. Και ισχύει:

$(f^\prime(x))^2 - f(x)f^\prime^\prime(x)=P(x)$

Να δείξετε ότι το P(x)

δεν έχει πραγματικές ρίζες.

#2

Δεν υπαρχει κοινή ρίζα των $f,f^{\prime}$ [1](βασική άσκηση)
Αν a_i

οι 5 ρίζες του f τότε
|f(x)|=|c||x-a_1|...|x-a_5|

άρα $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a_1}+...+\frac{1}{x-a_5}$ παραγωγίζοντας
$\frac{(f^{\prime}(x))^2-f(x)f^{\prime\prime}(x)}{f^2(x)}=(\frac{1}{x-a_1})^2+...+(\frac{1}{x-a_5})^2>0,x\neq a_1,...,a_5$
Οι μόνες πιθανές ρίζες του Ρ είναι τα a_i

που και αυτό αποκλείεται λόγω της αρχικής πρότασης [1]
(οι ρίζες θα μπορούσε να ήταν οσεσδήποτε θέλεις το 5 δεν παίζει ρόλο)

k-ser · #3

despondency έγραψε:Καλησπέρα, μια άσκηση που θεωρώ έχει ένα ενδιαφέρον:

Έστω πολυώνυμο , 5ου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και με ρίζες (αν έχει) πραγματικές και άνισες. Και ισχύει:

$(f^\prime(x))^2 - f(x)f^\prime^\prime(x)=P(x)$

Να δείξετε ότι το δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Υπάρχει κάτι που δεν κατάλαβα;

Το πολυώνυμο f(x)=x^5+1

έχει ρίζα το -1.
Το πολυώνυμο P(x)

έχει πραγματικές ρίζες.

#4

εννοεί ΌΛΕΣ τις ρίζες άνισες και πραγματικες

k-ser · #5

Ροδόλφε,
η πολύ καλή απόδειξη που κάνεις δουλεύει στην περίπτωση που το P(x) έχει 5 ρίζες πραγματικές και άνισες.

Δεν μπορεί να γίνει απόδειξη αν το P(x) έχει 1 ρίζα.

Δεν ξέρω αν αποδεικνύεται το ζητούμενο στην περίπτωση που το P(x) έχει 3, μόνο, άνισες πραγματικές ρίζες.

Αυτό που λέω δηλαδή, είναι ότι προϋπόθεση της άσκησης θα πρέπει να είναι ότι το P(x) έχει 5 ρίζες πραγματικές και άνισες.

Να σημειώσω ότι ένα πολυώνυμο 5ου βαθμού, που μπορεί να έχει άνισες πραγματικές ρίζες, αυτές μπορεί να είναι, (πλήθος), 1 , 3 , 5.

Να συμπληρώσω:
Η σωστή διατύπωση της άσκησης είναι:
Αν πολυώνυμο ν βαθμού με ν διαφορετικές πραγματικές ρίζες τότε το πολυώνυμο P(x):
$(f^\prime(x))^2 - f(x)f^\prime^\prime(x)=P(x)$
δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Η απόδειξη... είναι αυτή που κάνει ο Ροδόλφος.

Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Re: Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Re: Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Re: Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Re: Ενδιαφέρουσα Άσκηση

Μέλη σε σύνδεση