Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

#1

Μετά από το σύστημα του Θανάση εδώ:viewtopic.php?f=21&t=72928 ,
ας δούμε και ένα ακόμα, που θέλουμε τέχνασμα διαφορετικό από όσα αναπτύχθηκαν στην πιο πάνω άσκηση
(το πιο πάνω σύστημα, δεν θα μπορούσε να λυθεί με το τέχνασμα που ζητάμε για το παρακάτω)

Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y = 6}$

$\displaystyle{x^8 + y^8 = 2. 3^8}$

KARKAR · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Δευ Δεκ 26, 2022 2:04 pm $\displaystyle{x+y = 6}$

$\displaystyle{x^8 + y^8 = 2\cdot 3^8}$

Μπορεί κανείς βάσιμα να υποθέσει ότι το τέχνασμα είναι το εξής :

$\left\{\begin{matrix} x+y &=a+a \\ x^{2n}+y^{2n}&=a^{2n}+a^{2n} \end{matrix}\right.$

Το σύστημα έχει την προφανή λύση : (x,y) = (a ,a )

. Αρκεί να αποδειχθεί

ότι αυτή είναι και η μοναδική ( στους πραγματικούς ) ....

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Δευ Δεκ 26, 2022 2:04 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y = 6}$

$\displaystyle{x^8 + y^8 = 2. 3^8}$

Από πολλαπλή χρήση της $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$ με ισότητα αν και μόνον αν a=b

, έχουμε

$\displaystyle{ 6^8=(x+y)^8 \le [2(x^2+y^2)]^4 \le 2^4 [2(x^4+y^4) ]^2 \le 2^6 [2(x^8+y^8) ] = 2^7\cdot (2\cdot 3^8) = }$ αριστερό μέλος.

Άρα έχουμε ισότητα παντού, οπότε x=y

. Άρα

.

Τα παραπάνω γενικεύονται απλά σε οποιοδήποτε εκθέτη 2^n

και οποιοδήποτε a>0

στην θέση του

.

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 2:23 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Δευ Δεκ 26, 2022 2:04 pm Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle{x+y = 6}$

$\displaystyle{x^8 + y^8 = 2. 3^8}$
Από πολλαπλή χρήση της $(a+b)^2 \le 2(a^2+b^2)$ με ισότητα αν και μόνον αν , έχουμε

$\displaystyle{ 6^8=(x+y)^8 \le [2(x^2+y^2)]^4 \le 2^4 [2(x^4+y^4) ]^2 \le 2^6 [2(x^8+y^8) ] = 2^7\cdot (2\cdot 3^8) = }$ αριστερό μέλος.

Άρα έχουμε ισότητα παντού, οπότε . Άρα .

Τα παραπάνω γενικεύονται απλά σε οποιοδήποτε εκθέτη και οποιοδήποτε στην θέση του .

Με αυτήν την ιδέα, Μιχάλη, κατασκεύασα το σύστημα.

S.E.Louridas · #5

Εύχομαι καταρχάς αλλά και καταρχήν Χρόνια πολλά και καλά με Υγεία και Πρόοδο.

Θέτουμε $\frac{x}{3} - 1 = a,\;\;\frac{y}{3} - 1 = b,$ οπότε έχουμε το σύστημα $a + b = 0\;\kappa \alpha \iota \;{\left( {a + 1} \right)^{2^n}} + {\left( {1 + b} \right)^{2^n}} = 2.$
Αν πχ a>0

τότε

Έτσι η δεύτερη γίνεται ${\left( {a + 1} \right)^{2^n}} + {\left( {1 - a} \right)^{2^n}} = 2,$ που μετά από την ανάπτυξη και τις απαλοιφές έχουμε a=b=0

πράγμα άτοπο. Όμοια πάμε σε άτοπο αν a<0

οπότε

Άρα

οπότε

#6

Ας δούμε και χρήση κάποιων πιο προχωρημένων εργαλείων

Αντί των πολλαπλών χρήσεων της Cauchy-Schwarz μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και την Holder απευθείας. Έχουμε

$\displaystyle 6 = 2^{7/8} \cdot (2 \cdot 3^{8})^{1/8} = (1^{8/7} + 1^{8/7})^{7/8}(x^8 + y^8)^{1/8} \geqslant |x| + |y| \geqslant x+y = 6$

με ισότητα αν και μόνο αν x=y

. Είναι προφανές ότι το πιο πάνω δεν περιορίζεται σε δυνάμεις του

.

Επίσης θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε και την ανισότητα των δυνάμεων.

$\displaystyle 3 = \left( \frac{x^8+y^8}{2} \right)^{1/8} \geqslant \frac{|x|+|y|}{2} = 3$

Απλά αναφέρω την Jensen χωρίς να βάζω λύση μιας και η λύση θα είναι ουσιαστικά η απόδειξη της ανισότητας των δυνάμεων μέσω Jensen.

Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Re: Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Re: Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Re: Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Re: Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Re: Και ένα ακόμα σύστημα με τέχνασμα

Μέλη σε σύνδεση