Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

#1

Έστω πραγματικοί αριθμοί $a, \,b >1$ τέτοιοι ώστε για κάθε φυσικό

να ισχύει

.

Αποδείξτε ότι a=b

.

(Το

δηλώνει ακέραιο μέρος.)

fogsteel · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 3:23 pm Έστω πραγματικοί αριθμοί $a, \,b >1$ τέτοιοι ώστε για κάθε φυσικό να ισχύει .

Αποδείξτε ότι .

(Το δηλώνει ακέραιο μέρος.)

Έστω πως $a \neq b$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας a > b

με $a - b = c \Leftrightarrow a = b + c$

Παρατηρούμε πως όταν $k \rightarrow \infty$ τότε $c > \frac{b}{k}$ .

Άρα $a^k = (b + c)^k > (b + \frac{b}{k})^k = b^k(1 + \frac{1}{k})^k \rightarrow b^k * e$

Προφανώς οι b^k

και

δεν μπορουν να εχουν ιδιο ακεραιο μερος.
Άρα a = b

#3

fogsteel έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 4:33 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Δεκ 28, 2022 3:23 pm Έστω πραγματικοί αριθμοί $a, \,b >1$ τέτοιοι ώστε για κάθε φυσικό να ισχύει .

Αποδείξτε ότι .

(Το δηλώνει ακέραιο μέρος.)
Έστω πως $a \neq b$ και χωρίς βλάβη της γενικότητας με $a - b = c \Leftrightarrow a = b + c$

Παρατηρούμε πως όταν $k \rightarrow \infty$ τότε $c > \frac{b}{k}$ .

Άρα $a^k = (b + c)^k > (b + \frac{b}{k})^k = b^k(1 + \frac{1}{k})^k \rightarrow b^k * e$

Προφανώς οι και δεν μπορουν να εχουν ιδιο ακεραιο μερος.
Άρα

.
Θαυμάσια.

Κάνοντας απειροελάχιστη προσαρμογή μπορούμε να γλιτώσουμε την λήψη του ορίου. Όχι ότι η λήψη του είναι πρόβλημα αλλά για να κάνουμε την λύση προσιτή και σε μικρότερη τάξη. Συγκεκριμένα,

$a^k = (b + c)^k = b^k \left (1 + \frac{c}{b}\right )^k \ge b^k \left (1 + \frac{kc}{b}\right ) = b^k + kcb^{k-1} \ge b^k +kc$ που για κατάλληλα μεγάλο

είναι

.

Οπότε, όπως πριν, οι a^k

και

δεν μπορούν να έχουν ίδιο ακέραιο μέρος.

sai · #4

Αλλιώς, ας υποθέσουμε πως $a \ne b$ και WLOG $a > b \implies a = b + c$ . Από υπόθεση θα είναι $[a^k] = [b^k] \implies a^k - b^k < 1$ , για κάθε $k \in \mathbb{N}$ . Όμως, αν f(x) = a^x - b^x - 1

για

, είναι $f'(x) = a^x\ln(a) - b^x\ln(b) > 0$ (για x > 0

). Συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα και για επαρκώς μεγάλο

θα έχουμε

, άτοπο.

#5

sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:18 am ... για επαρκώς μεγάλο θα έχουμε , άτοπο.

Σωστά, αλλά χρειάζεται απόδειξη. Οι προηγούμενες δύο αποδείξεις αυτό ακριβώς δείχνουν.

sai · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:22 am
sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:18 am ... για επαρκώς μεγάλο θα έχουμε , άτοπο.
Σωστά, αλλά χρειάζεται απόδειξη. Οι προηγούμενες δύο αποδείξεις αυτό ακριβώς δείχνουν.

Αυτο ακριβώς δείχνει η μονοτονία της

.

#7

sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:27 am Αυτο ακριβώς δείχνει η μονοτονία της .

.
Δεν το βλέπω. Για παράδειγμα η $1-\dfrac {1}{x+1}$ είναι γνήσια αύξουσα για $x\ge 0$ αλλά οποιεσδήποτε δύο τιμές της διαφέρουν λιγότερο από

(διότι το σύνολο τιμών της είναι το [0,1)

, δηλαδή ένα μήκος

)

sai · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 12:50 pm
sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:27 am Αυτο ακριβώς δείχνει η μονοτονία της .
.
Δεν το βλέπω. Για παράδειγμα η $1-\dfrac {1}{x+1}$ είναι γνήσια αύξουσα για $x\ge 0$ αλλά οποιεσδήποτε δύο τιμές της διαφέρουν λιγότερο από (διότι το σύνολο τιμών της είναι το , δηλαδή ένα μήκος )

Πήρα

, συνεπώς το μόνο που αρκεί είναι, για μεγάλο

, να είναι f(x) > 0

, που ισχύει λόγω μονοτονίας. Όχι;

thepigod762 · #9

sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 1:49 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 12:50 pm
sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 11:27 am Αυτο ακριβώς δείχνει η μονοτονία της .
.
Δεν το βλέπω. Για παράδειγμα η $1-\dfrac {1}{x+1}$ είναι γνήσια αύξουσα για $x\ge 0$ αλλά οποιεσδήποτε δύο τιμές της διαφέρουν λιγότερο από (διότι το σύνολο τιμών της είναι το , δηλαδή ένα μήκος )
Πήρα , συνεπώς το μόνο που αρκεί είναι, για μεγάλο , να είναι , που ισχύει λόγω μονοτονίας. Όχι;

H

μπορεί να έχει οριζόντια ασύμπτωτη. Τότε αυξάνεται μεν απεριόριστα αλλά πλησιάζει μια τιμή.

Εδώ αυτό που αρκεί είναι το $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}( (b+c)^x - b^x - 1) =\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} ((b+c)^x (1 - (\frac{b}{b+c})^x - (\frac{1}{b+c})^x)) = +\infty.$

#10

sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 1:49 pm
Πήρα , συνεπώς το μόνο που αρκεί είναι, για μεγάλο , να είναι , που ισχύει λόγω μονοτονίας. Όχι;

H $f(x) = -\dfrac {1}{x+1}$ στο $[0,\infty)$ είναι γνήσια αύξουσα αλλά ποτέ δεν ισχύει f(x) > 0

, όσο μεγάλο και αν είναι το

.

Προσοχή, δεν ισχυρίζομαι ότι η αρχική απόδειξη είναι εσφαλμένη. Απλά λέω ότι έχει κάποιο κενό (το οποίο διορθώνεται, όπως άλλωστε δείχνουν οι αποδείξεις στα ποστ #2 και #3).

Νομίζω ότι το θέμα έχει εξαντληθεί. Δεν έχει νόημα να επανέλθουμε στα ίδια θέματα, και ας κρίνει ο κάθε αναγνώστης χωριστά.

sai · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 2:12 pm
sai έγραψε: Πέμ Δεκ 29, 2022 1:49 pm
Πήρα , συνεπώς το μόνο που αρκεί είναι, για μεγάλο , να είναι , που ισχύει λόγω μονοτονίας. Όχι;
H $f(x) = -\dfrac {1}{x+1}$ στο $[0,\infty)$ είναι γνήσια αύξουσα αλλά ποτέ δεν ισχύει , όσο μεγάλο και αν είναι το .

Προσοχή, δεν ισχυρίζομαι ότι η αρχική απόδειξη είναι εσφαλμένη. Απλά λέω ότι έχει κάποιο κενό (το οποίο διορθώνεται, όπως άλλωστε δείχνουν οι αποδείξεις στα ποστ #2 και #3).

Νομίζω ότι το θέμα έχει εξαντληθεί. Δεν έχει νόημα να επανέλθουμε στα ίδια θέματα, και ας κρίνει ο κάθε αναγνώστης χωριστά.

Συγγνώμη, μου διέφυγε. Ευχαριστώ για την διευκρίνηση!

Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Re: Ιδιότητα του ακεραίου μέρους

Μέλη σε σύνδεση