Αξιοθαύμαστα ζεύγη

KARKAR · #1

Βρείτε όλα τα ζεύγη (a , b) ,

με

, των διψήφιων θετικών ακεραίων , των οποίων ο αριθμητικός

και ο γεωμετρικός μέσος , είναι επίσης - διψήφιοι ασφαλώς ! - ακέραιοι . Για τον έλεγχο :

Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη δίνει την μεγαλύτερη και ποιο την μικρότερη διαφορά των δύο μέσων ;

Ανδρέας Πούλος · #2

Πρέπει να είναι και οι δύο άρτιοι είτε και οι δύο περιττοί ώστε ο αριθμητικός τους μέσος να είναι ακέραιος.
Επίσης, αφού και ο γεωμετρικός τους μέσος είναι ακέραιος, ο

έχει μορφή

είτε

.
Άρα, τα ζεύγη ακεραίων (a, b)

με

είναι τα εξής:
(10, 40)
(10, 90)
(11, 99)
(12, 48)
(14, 56)
(16, 64)
(18, 72)
(20, 80)
(22, 88)
(24, 96)
Η απάντηση στο δεύτερο ερώτημα τώρα είναι προφανής.

#3

Υπάρχουν περισσότερα ζεύγη.

Αν

ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των

και

τότε μπορούμε να γράψουμε a = dr, b = ds

για κάποιος πρώτους μεταξύ τους ακεραίους r,s

. Τότε

οπότε πρέπει ο

να είναι τέλειο τετράγωνο. Αφού οι r,s

είναι πρώτοι μεταξύ τους, πρέπει οι

και

να είναι τέλεια τετράγωνα. Αν

περιττός πρέπει επίσης οι r,s

να είναι και οι δύο περιττοί. (Δεν γίνεται να είναι άρτιοι αφού είναι πρώτοι μεταξύ τους.)

Για d=1

έχουμε τα ζεύγη (25,49), (25,81), (49,81)

.
Για

έχουμε τα ζεύγη (18,32), (18,50), (18,98), (32,50),(32,98), (50,72), (50,98), (72,98)

.
Για

έχουμε το ζεύγος (27,75)

.
Για

έχουμε τα ζεύγη (16,36), (36,64)

.
Για

έχουμε τα ζεύγη (24,54), (54,96)

.
Για

έχουμε το ζεύγος (32,72)

.
Για

έχουμε τα ζεύγη (10,40), (10,90), (40,90)

.
Για

έχουμε το ζεύγος (11,99)

.
Για $d=12,14,\ldots,24$ έχουμε τα ζεύγη (12,48), (14,56), (16,64),(18,72),(20,80),(22,88),(24,96)

αντίστοιχα.

Για το ζεύγος (18,32)

η διαφορά αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου είναι ίση με

. Αυτή είναι και η μικρότερη διαφορά. Δεν μπορούμε να έχουμε διαφορά

διότι είναι γνωστό ότι για διαφορετικούς αριθμούς ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος του γεωμετρικού. (Δείτε και πιο κάτω όπου ουσιαστικά θα το αποδείξουμε.)

Για το ζεύγος (11,99)

η διαφορά αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου είναι ίση με

. Δεν μπορούμε να έχουμε μεγαλύτερη. Πράγματι έχουμε

$\displaystyle \Delta = \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2}{2}$

Αν $a \geqslant 11$ , τότε $\displaystyle \Delta \leqslant \frac{(\sqrt{99} - \sqrt{11})^2}{2} = 22$
Αν a = 10

, τότε $\displaystyle \Delta \leqslant \frac{(\sqrt{90} - \sqrt{10})^2}{2} = 20$

Άρα η μέγιστη διαφορά είναι το

.

Σημείωση: Έγινε διόρθωση λανθασμένης φοράς ανισοτήτων.

Αξιοθαύμαστα ζεύγη

Αξιοθαύμαστα ζεύγη

Re: Αξιοθαύμαστα ζεύγη

Re: Αξιοθαύμαστα ζεύγη

Μέλη σε σύνδεση