Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

orestisgotsis · #1

Περιττό

abgd · #2

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιαν 13, 2023 1:32 pm Ας υποθέσουμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο $[-1,\,\,1]$ και επιπλέον ισχύουν:

1) $f(-1)\ge f(1)$ .

2) Η είναι μη φθίνουσα συνάρτηση.

3) $\displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=0$ .

Δείξτε ότι $\displaystyle\int_{-1}^{1}{f{{(x)}^{2}}dx}\le \frac{2}{3}$ .

Φαντάζομαι ότι με το $\displaystyle{\int_{-1}^{1}{f{{(x)}^{2}}dx}}$ εννοείται το $\displaystyle{\int_{-1}^{1}{f^2{{(x)}}}dx}}$

Αν είναι έτσι - και δεν έχω κάποιο υπολογιστικό λάθος - η συνάρτηση

$\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} k(x^2+x), \ \ x\in [-1,0) & \\ -k(x^2-x), \ \ x\in [0,1] & \end{matrix}\right.}$ ,

η οποία είναι περιττή με $\displaystyle{f^2}$ άρτια, ικανοποιεί τις υποθέσεις αλλά όχι το ζητούμενο για κατάλληλες τιμές του $\displaystyle{k}$

orestisgotsis · #3

Περιττό

abgd · #4

Πως δικαιολογείς το αντιπαράδειγμα στην πρότασή σου;

Στην απόδειξή σου, έχεις κάνει λάθος στην αρχή:

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιαν 20, 2023 9:29 pm Έχουμε $0\le g(1)-g(-1)\le 2$ (1).

Έχεις χρησιμοποιήσει λανθασμένα το δεδομένο της "μη φθίνουσας συνάρτησης" . Όταν η

είναι "μη φθίνουσα" δεν σημαίνει ότι: $g(1)\geq g(-1)$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

abgd έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 11:50 am Πως δικαιολογείς το αντιπαράδειγμα στην πρότασή σου;

Στην απόδειξή σου, έχεις κάνει λάθος στην αρχή:

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιαν 20, 2023 9:29 pm Έχουμε $0\le g(1)-g(-1)\le 2$ (1).

Έχεις χρησιμοποιήσει λανθασμένα το δεδομένο της "μη φθίνουσας συνάρτησης" . Όταν η είναι "μη φθίνουσα" δεν σημαίνει ότι: $g(1)\geq g(-1)$ .

Βλέπε
https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
Ο όρος μη φθίνουσα στα κανονικά Μαθηματικά είναι ταυτόσημος με τον όρο αύξουσα.
Η απόδειξη είναι εντάξει αν εξαιρέσεις κάποια τυπογραφικά .
Θα μπορούσε να απλοποιηθεί ελάχιστα αλλά στην ουσία θα παραμείνει ως έχει.

Το αντιπαράδειγμα που αναφέρεις δεν είναι σωστό.
Για βρες το

ώστε να ισχύουν όλες οι προυποθέσεις ;
Σαφώς θεώρησες ότι το μη φθίνουσα είναι κάτι άλλο.

abgd · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Κυρ Ιαν 22, 2023 12:09 am
abgd έγραψε: Σάβ Ιαν 21, 2023 11:50 am Πως δικαιολογείς το αντιπαράδειγμα στην πρότασή σου;

Στην απόδειξή σου, έχεις κάνει λάθος στην αρχή:

orestisgotsis έγραψε: Παρ Ιαν 20, 2023 9:29 pm Έχουμε $0\le g(1)-g(-1)\le 2$ (1).

Έχεις χρησιμοποιήσει λανθασμένα το δεδομένο της "μη φθίνουσας συνάρτησης" . Όταν η είναι "μη φθίνουσα" δεν σημαίνει ότι: $g(1)\geq g(-1)$ .
Βλέπε
https://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function
Ο όρος μη φθίνουσα στα κανονικά Μαθηματικά είναι ταυτόσημος με τον όρο αύξουσα.
Η απόδειξη είναι εντάξει αν εξαιρέσεις κάποια τυπογραφικά .
Θα μπορούσε να απλοποιηθεί ελάχιστα αλλά στην ουσία θα παραμείνει ως έχει.

Το αντιπαράδειγμα που αναφέρεις δεν είναι σωστό.
Για βρες το ώστε να ισχύουν όλες οι προυποθέσεις ;
Σαφώς θεώρησες ότι το μη φθίνουσα είναι κάτι άλλο.

Να επισημάνω ότι ο φάκελος δεν είναι ο κατάλληλος να παίζουμε με ... ταυτόσημους όρους!

Ο μαθητής της Γ΄ Λυκείου γνωρίζει ότι όταν έχει μια συνάρτηση που είναι φθίνουσα τότε $\forall x_1,x_2$ με $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\geq f(x_2)$ .
και συνεπώς όταν μια συνάρτηση δεν είναι φθίνουσα, το οποίο είναι ταυτόσημο με το "μη φθίνουσα", θα ισχύει: $\exists x_1,x_2$ με $x_1<x_2\wedge f(x_1)< f(x_2)$ .

Αν τώρα αλλάξουμε το πλαίσιο της μαθηματικής θεωρίας, θέτοντας διαφορετικούς ορισμούς και έννοιες, θα πρέπει να το συζητήσουμε κάπου αλλού.

orestisgotsis · #7

Περιττό

abgd · #8

orestisgotsis έγραψε: Κυρ Ιαν 22, 2023 3:27 pm Όσον αφορά τη σχέση (1) στην απόδειξη: Υπάρχουν και , ώστε , ενώ για την περίπτωση της αύξουσας, είναι

προφανές.

Ορέστη, πρόσεχε! Όταν μια συνάρτηση δεν είναι φθίνουσα στο [-1,1]

δεν σημαίνει ότι g(-1)<g(1)

.
Θα υπάρχουν κάποια $x_1, x_2 \in [-1,1]$ , χωρίς να γνωρίζουμε ποια είναι αυτά, έτσι ώστε: x_1<x_2

και

,
δηλαδή τα x_1, x_2

δεν είναι απαραίτητα τα -1,1

τα οποία χρησιμοποιείς στην απόδειξή σου.

Αν τώρα η

είναι αύξουσα τότε ναι... είναι προφανές.

Ο Σταύρος στην παρέμβασή του λέει ότι, στα "κανονικά μαθηματικά"!, χρησιμοποιούμε τον όρο ¨μη φθίνουσα" ως ταυτόσημο με τον όρο "αύξουσα".

Αν έτσι είναι τότε η πρότασή σου είναι σωστή και ενδεχομένως να έχει και αντιμετώπιση με τα "εργαλεία" των μαθηματικών της Γ΄ Λυκείου.

orestisgotsis · #9

Περιττό

abgd · #10

Με παίδεψες δηλαδή τόσο πολύ για να μου πεις ότι "μη φθίνουσα", στην άσκηση, εννοούμε την αύξουσα! Δεν έγραφες από την αρχή...αύξουσα;

Ας είναι... κάτι μαθαίνω!

Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Re: Συνεχής συνάρτηση με συνθήκες

Μέλη σε σύνδεση