Διαιρετότητα με το 3

#1

Θεωρούμε τους διψήφιους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{a,b,c}$ . Γνωρίζουμε ότι οι $\displaystyle{a,b,c}$ διαιρούμενοι με το $\displaystyle{3}$ δίνουν

υπόλοιπο $\displaystyle{2 , 1 , 1}$ αντιστοίχως.

Τοποθετούμε τα ψηφία των αριθμών αυτών σε μια σειρά με τυχαίο τρόπο και σχηματίζουμε τον εξαψήφιο αριθμό $\displaystyle{A}$

Να εξηγήσετε γιατί το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{A}$ με το $\displaystyle{3}$ θα είναι το $\displaystyle{1}$

Τόλης · #2

Γνωρίζουμε ότι ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το

, εάν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το

.
Καθώς τα υπόλοιπα των αριθμών a,b,c

διαιρώντας τα με το

, είναι

και

αντίστοιχα, γνωρίζουμε ότι
το άθροισμα των ψηφίων των αριθμών a,b,c

διαιρώντας τα με το

έχουν υπόλοιπο 2,1

και

αντίστοιχα.

Οι αριθμοί a,b,c

γράφονται ως εξής:
$a=\Gamma \Delta$ , όπου $\Gamma$ και $\Delta$ ψηφία του αριθμού

και $\Gamma +\Delta =3p+2$
$b=\Theta \Lambda$ , και $\Theta +\Lambda =3r+1$
$c=\Xi \Pi$ , και $\Xi +\Pi =3l+1$ .

Ο εξαψήφιος αριθμός

που προκύπτει θα έχει ως ψηφία τα $\Gamma ,\Delta ,\Theta ,\Lambda ,\Xi ,\Pi$

Το άθροισμα των ψηφίων του είναι $\Gamma +\Delta +\Theta +\Lambda +\Xi +\Pi =3p+2 +3r+1+3l+1= 3p+3r+3l+3+1=3(p+r+l+1)+1$

Αρά το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το

είναι

elenipappa · #3

Έστω $\alpha = \overline{\rm xy} , b= \overline{\rm \kappa \lambda } , c=\overline{\rm wz}$
Έχουμε

τρόπους τοποθέτησης των διψήφιων $\alpha ,b,c$ για τον σχηματισμό του

.
Άρα διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις $A=\overline{\rm \alpha bc} , A=\overline{\rm \alpha cb},A=\overline{\rm b\alpha c}, A=\overline{\rm c\alpha b}, A=\overline{\rm bc\alpha },A=\overline{\rm cb\alpha }$ .
Παίρνουμε τυχαία την περίπτωση $A=\overline{\rm \alpha bc}=\overline{\rm xy\kappa \lambda \omega z}\Leftrightarrow A=10^{4}(10x+y)+10^{2}(10\kappa +\lambda )+10\omega +z$ (1)

Όμως οι $\alpha ,b,c$ είναι της μορφής 3k+2 , 3l+1 , 3m+1

αντίστοιχα.
Άρα με αντικατάσταση στην (1)

$A=3(10^{4}k +10^{2}l +m+6700)+1\Leftrightarrow A=3v+1$
Επομένως, ο

αφήνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρείται με το 3

Διαιρετότητα με το 3

Διαιρετότητα με το 3

Re: Διαιρετότητα με το 3

Re: Διαιρετότητα με το 3

Μέλη σε σύνδεση