Ορισμένο ολοκλήρωμα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Ορέστη.

Η ολοκληρωτέα είναι συνεχής στο $\left[-1,1\right]$ και κατά συνέπεια συνεχής στο $\left[0,\sqrt{2}-1\right]$ .

Έγραψα, $\displaystyle{f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}\,\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\frac{2}{1-x^2}\,\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)-\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=g(x)+h(x),\,\,0\leq x\leq \sqrt{2}-1.}$

Το ολοκλήρωμα της

με το σπάσιμο $\ln(1+x)-\ln(1-x)$ είναι

$\displaystyle{\left[(1+x)\,\ln(1+x)-x\right]_{0}^{\sqrt{2}-1}+\left[(1-x)\,\ln(1-x)+x\right]_{0}^{\sqrt{2}-1}=\frac{\ln\,2}{\sqrt{2}}-(\sqrt{2}-2)\,\ln(2-\sqrt{2}).}$

Στο ολοκλήρωμα της

θέτουμε $\displaystyle{u=t(x)=\frac{1+x}{1-x}}$ (η

είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ολοκλήρωσης) και καταλήγουμε στο

$\displaystyle{\int_{\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}^{1}\frac{\ln\,u}{u}du=\left[\frac{\ln^2\,u}{2}\right]_{\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}^{1}}}$

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση