Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Πεδγια · #1

Καλημέρα. Μπορεί κάποιος να μου δώσει μια συμβουλή για το πώς να αποδείξω την ακόλουθη πρόταση:

Δίνεται τρίγωνο με κορυφές

,

και

, απέναντι πλευρές μήκους

,

και

, εμβαδόν

. Συμβολίζουμε με d_1

,

τις αποστάσεις από τις κορυφές

,

μέχρι το αυθαίρετο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου. Συμβολίζουμε με

την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και με

την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε, ad_1^2+bd_2^2+cd_3^2=(4R+2r)K

.

: Pro33.png (56.2 KiB) Προβλήθηκε 2876 φορές

#2

Πρόκειται για την γνωστή πρόταση

$\displaystyle{\boxed{aMA^2+bMB^2+cMC^2=abc+2sMI^2}}$

που έχει αναφερθεί και εδώ, μόνο τώρα που είναι $\displaystyle{TI=r.}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Και στην παρακάτω δημοσίευση
viewtopic.php?f=22&t=16776

Πεδγια · #4

@matha @ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ Ευχαριστώ.

Πεδγια · #5

Είναι δυνατόν να γενικευτεί αυτό το αποτέλεσμα.

Δίνεται δικεντρικά τετράπλευρο (δηλαδή τετράπλευρο με εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο) με κορυφές

,

και

, μήκη πλευρών

,

, διαγωνίους p=AC

,

και εμβαδόν

. Συμβολίζουμε με d_1

,

τις αποστάσεις από ένα αυθαίρετο σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου προς τις κορυφές

,

. Συμβολίζουμε με

την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και με

την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Τότε, $\left(d_1^2+d_3^2\right)q+\left(d_2^2+d_4^2\right)p=4RK+2(p+q)r^2$ .

Παρόμοιες ταυτότητες υπάρχουν και για άλλα δικεντρικά πολύγωνα.Ωστόσο, δεν έχω ακόμα απόδειξη για αυτή τη γενίκευση.

Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Re: Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Re: Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Re: Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Re: Πρόταση σχετικά με τον εγγεγραμμένο κύκλο

Μέλη σε σύνδεση