1-1συνάρτηση

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε f(f(x)) = x^5

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να δειχθεί ότι η είναι .
Να δειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .
Να βρεθούν τα κοινά σημεία της $\mathcal{C}_f$ με την ευθεία .
Να δειχθεί ότι .

math80 · #2

(i) $f(a)=f(b)\rightarrow f(f(a))=f(f(b))\rightarrow a^5 = b^5 \rightarrow a=b$

(ii) όπου

το

και η δοθείσα γίνεται $f(f(f(x)))=f^5(x)\rightarrow f(x^5)=f^5(x)$

(iii) $f(x)=x\rightarrow f(f(x))=f(x)\rightarrow x^5 = x\rightarrow x=0 , x=1 , x=-1$ . Άρα είναι f(1)=1 , f(-1)=-1 , f(0)=0

.

(iv) f^5(-1)+f^5(1) = f((-1)^5)+f(1^5)=f(-1)+f(1)=-1+1=0=f(0)

λόγω του (iii).

Τόλης · #3

Ένας διαφορετικός τρόπος επίλυσης του i)

Για να δείξω ότι η συνάρτηση $\large f$ είναι $\large 1-1$ , αρκεί να δείξω ότι είναι γνησίως μονότονη.
Έστω $\large f$ γνησίως αύξουσα στο $\large \mathbb{R}$ .
Για κάθε $\large x1,x2\in \mathbb{R}$ , με
$\large x1<x2$ ισχύει $f(x1)<f(x2)\Leftrightarrow f(f(x1))<f(f(x2))\Leftrightarrow x1^{5}<x2^{5}$ $\large \Leftrightarrow x1<x2$ , που προφανώς ισχύει.

Στην συνέχεια έστω η $\large f$ γνησίως φθίνουσα, και με ακριβώς την ίδια τακτική καταλήγουμε σε $\large x1<x2$ , που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση η $\large f$ γνησίως μονότονη, άρα και $\large 1-1$ .

giannispapav · #4

Τόλης έγραψε: Κυρ Φεβ 05, 2023 10:26 pm Ένας διαφορετικός τρόπος επίλυσης του i)

Για να δείξω ότι η συνάρτηση $\large f$ είναι $\large 1-1$ , αρκεί να δείξω ότι είναι γνησίως μονότονη.
Έστω $\large f$ γνησίως αύξουσα στο $\large \mathbb{R}$ .
Για κάθε $\large x1,x2\in \mathbb{R}$ , με
$\large x1<x2$ ισχύει $f(x1)<f(x2)\Leftrightarrow f(f(x1))<f(f(x2))\Leftrightarrow x1^{5}<x2^{5}$ $\large \Leftrightarrow x1<x2$ , που προφανώς ισχύει.

Στην συνέχεια έστω η $\large f$ γνησίως φθίνουσα, και με ακριβώς την ίδια τακτική καταλήγουμε σε $\large x1<x2$ , που ισχύει.

Άρα σε κάθε περίπτωση η $\large f$ γνησίως μονότονη, άρα και $\large 1-1$ .

Αν δεν κάνω λάθος, αυτό που αποδείξατε είναι ότι αν η

είναι γνησίως μονότονη, τότε η σχέση f(f(x))=x^5

δεν δημιουργεί κάποια αντίφαση (επιτρέπει στην

να είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα). Ωστόσο, δεν αποδείξατε ότι η

είναι γνησίως μονότονη.

Τόλης · #5

Ίσως θα έπρεπε να πάει κάπως έτσι...

$\large \bullet$ Έστω $\large f$ γνησίως αύξουσα στο $\large R$ , επομένως $\large f(x1)<f(x2)$ .
Για κάθε $\large x1,x2\in \mathbb{R}$ , με
$\large x1<x2\Leftrightarrow x1^{5}<x2^{5}\Leftrightarrow f(f(x1))<f(f(x2))\Leftrightarrow f(x1)<f(x2)$ , άρα $\large f$ γνησίως αύξουσα, άρα και $\large 1-1$

$\large \bullet$ Έστω $\large f$ γνησίως φθίνουσα στο $\large \mathbb{R}$ , επομένως $\large f(x1)>f(x2)$ .
$\large x1<x2\Leftrightarrow x1^{5}<x2^{5}\Leftrightarrow f(f(x1))<f(f(x2))\Leftrightarrow f(x1)>f(x2)$ , άρα $\large f$ γνησίως φθίνουσα, άρα και $\large 1-1$ .

$\large \bullet$ Και αν $\large f(x1)=f(x2)$ , τότε $\large f(f(x1))=f(f(x2))\Leftrightarrow x1^{5}=x2^{5}\Leftrightarrow x1=x2$

Είχα δει παρόμοια λύση σε ένα περίπου ίδιο θέμα, ωστόσο δεν θυμάμαι πώς πάει...
Ίσως η υπόθεση να ήταν, έστω $\large f$ δεν είναι γνησίως αύξουσα, άρα $\large f(x1)\geq f(x2)$ ....
Θα την ψάξω και θα την ξαναγράψω.

#6

Η απόδειξη είναι προβληματική.

Έδειξες

Τόλης έγραψε: Δευ Φεβ 06, 2023 10:27 am
$\large \bullet$ Έστω $\large f$ γνησίως αύξουσα στο $\large R$ , επομένως
... άρα $\large f$ γνησίως αύξουσα,

δηλαδή αν είναι γνήσια αύξουσα τότε είναι γνήσια αύξουσα. Και επίσης έδειξες

Τόλης έγραψε: Δευ Φεβ 06, 2023 10:27 am $\large \bullet$ Έστω $\large f$ γνησίως φθίνουσα ...
... άρα $\large f$ γνησίως φθίνουσα

δηλαδή αν είναι γνήσια φθίνουσα τότε είναι γνήσια φθίνουσα.

Αλλά αυτά δεν χρειάζονται απόδειξη. Για να το πω με χιούμορ για να αντιληφθείς γιατί έχεις λογικό σφάλμα, κάνω την εξής απόδειξη.

Έστω ότι η συνάρτηση είναι ελέφαντας. Έπεται ότι έχει γκρίζο χρώμα, προβοσκίδα, ζυγίζει ένα τόνο, έχει τέσσερα πόδια και χαβλιόδοντες. Αλλά το μόνο ζώο που έχει γκρίζο χρώμα, προβοσκίδα, ζυγίζει ένα τόνο, έχει τέσσερα πόδια και χαβλιόδοντες είναι ο ελέφαντας. Άρα ο ελέφαντας που είχα, είναι ελέφαντας.

Για να συνοψίσω, πρέπει να ξεκαθαρίσεις στο μυαλό σου ποια είναι μία σωστή απόδειξη και ποια δεν είναι.

Τόλης · #7

Ναι κύριε Λάμπρου, το κατάλαβα καθώς το έγραφα...άλλα για κάποιο λόγο συνέχιζα να το γράφω.
Προσπαθώ να θυμηθώ τον τρόπο λύσης του συγκεκριμένου ερωτήματος.

Tolaso J Kos · #8

Εγώ να ρωτήσω; Γιατί πρέπει ντε και καλά η

αυτή να είναι γνησίως μονότονη;

Τόλης · #9

Έλα ντε...
Μου φάνηκε ότι μοιάζει με μία παρόμοια άσκηση που είχα λύση, αλλά εκεί είχε $\large g(f(x))=x^5$ και ως δεδομένα $\large gof$ και $\large g$ αύξουσα και ζητούσε την απόδειξη ότι η $\large f$ είναι $\large 1-1$ .

abgd · #10

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Φεβ 05, 2023 9:14 pm Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να δειχθεί ότι η είναι .

Να δειχθεί ότι για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να βρεθούν τα κοινά σημεία της $\mathcal{C}_f$ με την ευθεία .

Να δειχθεί ότι .

Ένα ακόμη ερώτημα:
Να δείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} & x^{-\sqrt{5}}, \ \ \ \ x>0 \\ & 0, \ \ \ \ x= 0 \\ & -(-x)^{-\sqrt{5}}, \ \ x<0 \end{cases}}$ ικανοποιεί τη δοσμένη συνθήκη. Εξετάστε την

ως προς τη συνέχεια και την μονοτονία.

1-1συνάρτηση

1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Re: 1-1συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση