Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2$ .
"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".

Ορέστη καλησπέρα...

Σαν αρχή της κουβέντας παραθέτω το στερεό αυτό με το ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος Στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 1.png (68.45 KiB) Προβλήθηκε 972 φορές

Ασφαλώς το "δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα " δεν αποκλείει
τη χρήση του απλού ολοκληρώματος!

Σημειώνω ακόμα ότι το στερεό αυτό δεν είναι ελλειψοειδές και ότι η ακτίνα που έχω σημειώσει
είναι η ακτίνα του κύκλου στο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή η τομή του στερεού αυτού με το οριζόντιο
επίπεδο καθώς και το σημείο $\displaystyle{O}$ είναι η αρχή των αξόνων.

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#3

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2$ .
"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν"

Καλημέρα

(Συνέχεια...)

Παραθέτω ακόμα μερικά στοιχεία του στερεού αυτού.

Σχήμα 1

: Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 2.png (62.66 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Το στερεό αυτό παράγεταιαό την περιστροφή της καμπύλης με κόκκινο χρώμα γύρω

από τον άξονα των $\displaystyle{z}$ κατά μία πλήρη γωνία.

Σχήμα 2

: Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 3.png (26.89 KiB) Προβλήθηκε 860 φορές

Η γεννήτρια καμπύλη $\displaystyle{c}$ προφανώς έχει εξίσωση:

$\displaystyle{y^2-ln(\frac{2}{1+z^2})=0, \ \ (1) }$

Από την (1) προκύπτει εύκολα ότι:

$\displaystyle{-1\leq z \leq 1, \ \ (2)}$

(συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#4

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2$ .

"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".

Καλημέρα...

(Συνέχεια...)

Μια ακόμα γνωριμία με την επιφάνεια αυτή.

Η επιφάνεια αυτή όπως προκύπτει από την εξίσωση της (1) είναι μια

"κυκλογενής επιφάνεια" δηλαδή μια επιφάνεια που προκύπτει από την κίνηση ενός κύκλου

το κέντρο του οποίου κινείται πάνω σε μια δοθείσα καμπύλη και η ακτίνα του

μεταβάλλεται με συγκεκριμένο τρόπο. Ας δούμε το ακόλουθο σχήμα:

: Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png (64.66 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Στο σχήμα αυτο βλέπουμε τον κύκλο:

$\displaystyle{(Q, QM), \ \ (QM)=\sqrt{ln{\frac{2}{1+z^2}}}, \ \ 0 \leq z \leq 1 \ \ (3)}$

Ο κύκλος αυτός καθώς κινείται διαγράφει (δημιουργεί) τη συγκεκριμένη επιφάνεια που μελετάμε.

Αυτό μπορεί κανείς να το δει και στο ακόλουθο οχήμα:

: Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 5.png (65.65 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Τέτοιες κυκλογενείς επιφάνειες μπορεί να δει κανείς και σε άλλες περιπτώσεις με πιο

ενδιαφέρουσες μορφές. Για παράδειγμα:

: Όγκος στερεού χωρίς διιπλά ολοκληρώματα 6.png (71.43 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

Η οδηγός καμπύλη των κέντρων των κύκλων αυτών είναι παραβολή ενώ στο παράδειγμά μας είναι το

ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{OB}$ .

Τέτοιες επιφάνειες αποτελούν για τους καλλιτέχνες εφαλτήρια ιδεών και δημιουργικής φαντασίας!

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

#5

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Μαρ 02, 2023 4:42 pm Βρείτε τον όγκο του στερεού από την ανισότητα ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\ln (1+{{z}^{2}})\le \ln 2$ .

"Σημειώστε ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ευθέως το διπλό ολοκλήρωμα εδώ το οποίο

οι μαθητές του Λυκείου στην Ιαπωνία δεν το μελετούν".

Καλησπέρα....

(Συνέχεια...)

Ύστερα από όλα για να υπολογίσουμε τον όγκο του στερεού αυτού θα

αναφερθούμε στο γνωστό σχήμα:

: Όγκος στερεού χωρίς διπλά ολοκληρώματα 4.png (64.66 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές

Είναι:

$\displaystyle{ V=2\int_{0}^{1} \pi (QM)^2 dz=2\pi \int_{0}^{1}ln(\frac{2}{1+z^2})dz =}$

$\displaystyle{=2\pi[ \int_{0}^{1}ln2dz-\int_{0}^{1}ln(1+z^2)dz]= 2\pi ln2-2\pi \int_{0}^{1} ln(1+z^2)dz \ \ (4) }$

Όμως:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}ln(1+z^2)dz=\int_{0}^{1}(z)'ln(1+z^2)dz=zln(1+z^2)|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}z\frac{2z}{1+z^2}dz =}$

$\displaystyle{=ln2-2\int_{0}^{1}(1-\frac{1}{1+z^2})dz =ln2 -2 \int_{0}^{1}dz +2\int_{0}^{1}\frac{1}{1+z^2}dz= }$

$\displaystyle{= ln2-2+2tan^{-1}z|_{0}^{1}=ln2-2+\frac{\pi}{2} \ \ (5) }$

Έτσι η (4) λόγω της (5) γίνεται τελικά:

$\displaystyle{V=4\pi-\pi^2 \ \ (6) }$

Ή προσεγγιστικά

$\displaystyle{V \approx 2.6968 }$

Παρόμοια θα μπορούσαμε να βρούμε και το εμβαδόν της επιφάνειας αυτής.

Κώστας Δόρτσιος

Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Re: Όγκος χωρίς διπλά ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση