Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 (10-11 τάξη, 2018)

[Al.Koutsouridis]

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239
Θέματα της 10ης και 11ης τάξης, 2018

1. Να αποδείξετε, ότι αν σε ένα κυρτό πολύγωνο όλες οι αποστάσεις ζευγών κορυφών είναι διαφορετικές, τότε θα βρεθεί τέτοια κορυφή, ώστε η κοντινότερη προς αυτήν κορυφή του πολυγώνου να είναι γειτονική προς αυτήν. (Ντ. Σίριεβ, Σ. Μπερλόβ)

2. Μπορεί άραγε όλα τα μη κενά υποσύνολα ενός συνόλου στοιχείων να διαμεριστούν σε τριάδες έτσι, ώστε σε κάθε τριάδα δυο από τα υποσύνολα να μην τέμνονται και στην ένωση να δίνουν το τρίτο; (Β. Φρανκ)

3. Δίνεται ένας πρώτος αριθμός . Είναι γνωστό ότι η ελάχιστη περίοδος του κλάσματος διαιρείται με το . Αυτή η περίοδος (συμπεριλαμβανομένου πιθανά μηδενικά στην αρχή) γράφτηκε σε μια λωρίδα χαρτί και χωρίστηκε σε τρία ίσα κατά μήκος κομμάτια (και σε αυτά πιθανόν να υπάρχουν μηδενικά στην αρχή). Με τι μπορεί να ισούται το άθροισμα των τριών περιοδικών κλασμάτων και ; (Α. Χραμπρόβ)

4. Στα κελιά ενός πίνακα είναι τοποθετημένα μηδενικά. Στον πίνακα μπορούν να εφαρμοσθούν οι ακόλουθες πράξεις:
1) Να διαλέξουμε τυχαία γραμμή, να προσθέσουμε σε όλους τους αριθμούς αυτής της γραμμής την μονάδα και να μετατοπίσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς δεξιά κατά ένα κελί (ο τελευταίος αριθμός τοποθετείται στην πρώτη θέση).
2) Να διαλέξουμε τυχαία στήλη, να αφαιρέσουμε από όλους τους αριθμούς της την μονάδα και να μετατοπίσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς κατά ένα κελί προς τα κάτω (και ο αριθμός του πιο κάτω κελιού τοποθετείται στο πρώτο από πάνω κελί).
Μπορούμε άραγε με κάμποσες τέτοιες πράξεις να πετύχουμε πίνακα, στον οποίον σε όλα τα κελιά, εκτός από δυο, να βρίσκονται μηδενικά, στο αριστερά κάτω κελί να βρίσκεται το και στο δεξί πάνω να βρίσκεται το ; (Ν. Βλάσοβα)

5. Δίνεται τραπέζιο με . Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο και οι ευθείες και , στο σημείο . Προέκυψε, ότι ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα εφάπτεται της διαμέσου του τραπεζίου. Να αποδείξετε, ότι θα βρεθεί τέτοιο τετράγωνο, ώστε μεταξύ όλων των ευθειών (έξι), που ορίζονται από τα ζεύγη των κορυφών του και των σημείων και υπάρχει ένα προς ένα αντιστοιχία: σε κάθε ευθεία αντιστοιχεί ένα σημείο, που ανήκει σε αυτήν. (Β. Μόσκιν)

6. Για ποιους μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς υπάρχει πολυώνυμο βαθμού , όλοι οι συντελεστές του οποίου είναι δυνάμεις του με ακέραιο εκθέτη, που έχει ρητές ρίζες συμπεριλαμβανομένου πολλαπλότητας; (Φ. Πετρόβ)

7. Σε ένα τρίγωνο κάθε διάμεσος σχηματίζει με την πλευρά στην οποία φέρεται, γωνία, μικρότερη από . Να αποδείξετε, ότι μια από τις γωνίες του τριγώνου είναι μεγαλύτερη από . (Σ. Μπερλόβ)

8. Ένας γράφος με την αφαίρεση οποιασδήποτε κορυφής του μετατρέπεται σε επίπεδο. Αποδείξετε, ότι οι κορυφές του μπορούν να χρωματιστούν κανονικά με χρώματα. (Χρήση του θεωρήματος των τεσσάρων χρωμάτων χωρίς απόδειξη δεν επιτρέπεται) (Ντ. Καρπόβ)

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239
Θέματα της 10ης και 11ης τάξης, 2018

1. Να αποδείξετε, ότι αν σε ένα κυρτό πολύγωνο όλες οι αποστάσεις ζευγών κορυφών είναι διαφορετικές, τότε θα βρεθεί τέτοια κορυφή, ώστε η κοντινότερη προς αυτήν κορυφή του πολυγώνου να είναι γειτονική προς αυτήν. (Ντ. Σίριεβ, Σ. Μπερλόβ)

Παίρνω κάθε κορυφή και σχεδιάζω μια κατευθυνόμενη ακμή από αυτή προς αυτή η οποία απέχει την μικρότερη απόσταση από την
Αν οι κορυφές του πολυγώνου παίρνω την ακμή από όσες σχεδιάσαμε έτσι ώστε το να είναι το ελάχιστο δυνατό. Έστω προς άτοπο ότι δεν είναι γειτονικά και χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτω .
Κοιτάμε τα σημεία (θα είναι τουλάχιστον ένα). Από το καθένα φεύγει μία ακριβώς ακμή, θα δείξω πρώτα ότι αυτή δεν τέμνει την εσωτερικό σημείο.
Έστω προς άτοπο ότι έχω κάποιο εκ των και του οποίου η ακμή καταλήγει στο που είναι έξω από το και έτσι τέμνει την σε σημείο .
Από την τριγωνική ανισότητα έχω τότε , και οι οποίες με πρόσθεση δίνουν ,
όμως από τον τρόπο με τον οποίο ορίσαμε τις ακμές γνωρίζουμε ότι και επομένως καταλήξαμε σε άτοπο.

Παίρνω λοιπόν μία οποιαδήποτε κορυφή από το και η ακμή της, η και επομένως το οποίο είναι αδύνατο από τον τρόπο που επιλέξαμε τα .

[Demetres]

Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239
Θέματα της 10ης και 11ης τάξης, 2018
2. Μπορεί άραγε όλα τα μη κενά υποσύνολα ενός συνόλου στοιχείων να διαμεριστούν σε τριάδες έτσι, ώστε σε κάθε τριάδα δυο από τα υποσύνολα να μην τέμνονται και στην ένωση να δίνουν το τρίτο; (Β. Φρανκ)

Δεν γίνεται. Συνολικά πρέπει να έχουμε τριάδες. Κοιτάζουμε τις τριάδες που περιέχουν τα σύνολα μεγέθους και . Συνολικά έχουμε τέτοια σύνολα.

Το πολύ μία τριάδα έχει δύο σύνολα μεγέθους . (Αφού το τρίτο σύνολο πρέπει να έχει μέγεθος .)
Το πολύ δέκα τριάδας έχουν ένα σύνολο μεγέθους και ένα μεγέθους . (Αφού το τρίτο σύνολο πρέπει να έχει μέγεθος .)
Καμία τριάδα δεν έχει δύο σύνολα μεγέθους .

Άρα συνολικά χρειαζόμαστε τουλάχιστον τριάδες για να χρησιμοποιήσουμε όλα αυτά τα σύνολο, άτοπο.